[Funkcje] funkcje rosnące

[jerzozwierz]

Witam, znowu mam problem z zadaniem z OMa, gdyż wyszło mi sprzeczne rozwiązanie

Treść:
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: \langle 0,1 \rangle \rightarrow \mathbb{R}}\) taka, że \(\displaystyle{ f( \frac{1}{n})=(-1) ^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,...}\)
Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące \(\displaystyle{ g: \langle 0,1 \rangle \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ h: \langle 0,1 \rangle \rightarrow \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ f=g-h}\).

Wszystkie znaki na ziemi i na niebie mówią mi, że jednak znalazłem takie funkcje:
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{-3}{x}+3}\)
\(\displaystyle{ h(x)= \frac{-3}{x}+3 - (-1) ^{ \frac{1}{x} }}\)
Co jest?

[scyth]

Dziedzina się nie zgadza? Drobny szczegół, a jednak...

[jerzozwierz]

Możesz powiedzieć coś więcej z tą dziedziną? Bo w funkcji f także nie ma zera.

[scyth]

\(\displaystyle{ h(0)=? \\
f(0)=?}\)
Chyba są tam nieokreślone, a zgodnie z założeniami nie powinny.

[jerzozwierz]

no to dodać np. dla x=0 dajmy na to h(x)=5. i wszystko działa.

[scyth]

No to zadam kolejne pytanie:
\(\displaystyle{ h \left( \frac{2}{3} \right) = ?}\)

[Inkwizytor]

Rozumiem że zapis f=g-h należy odczytać jako:
\(\displaystyle{ f(x_i)=g(x_i)-h(x_i)}\)
wówczas można wprowadzić oznaczenie:
\(\displaystyle{ x_i= \frac{1}{n_i}}\)
Zatem tylko liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) należą do dziedziny. Co prawda wtedy dziedzina z domkniętym zerem jest bez sensu.

[Rogal]

Niby dlaczego można wprowadzić takie oznaczenie? I od kiedy to można ustawić w ciąg wszystkie liczby z odcinka [0, 1]? Coś mnie ominęło ostatnio?

[Dumel]

dowód nie wprost:
\(\displaystyle{ h( \frac{1}{2n+2})+3=g( \frac{1}{2n+2})+2<g( \frac{1}{2n+1})+2=h( \frac{1}{2n+1})+1=g( \frac{1}{2n+2})<g( \frac{1}{2n+1})=h( \frac{1}{2n+1})-1<h( \frac{1}{2n})}\)

więc wobec monotoniczności \(\displaystyle{ h(0) \rightarrow - \infty}\)-bez sensu bo funkcja jest określona na przedziale domkniętym-- 11 sierpnia 2009, 16:14 --Inkwizytor to że o innych wartościach nie mamy wiadomości nie znaczy że funkcja nie jest określona dla innych argumentów

[bury]

Inkwizytor, nawet te punkty chyba nie do końca tak...
z tego co ja wiem to (-1)^t ma sens tylko dla t całkowitych i dla odwrotności liczb nieparzystych

[Inkwizytor]

Inkwizytor, nawet te punkty chyba nie do końca tak...
z tego co ja wiem to (-1)^t ma sens tylko dla t całkowitych i dla odwrotności liczb nieparzystych

O ile w pełni zgadzam się z uwagami Rogala i Dumela - źle zinterpretowałem treść zadania (mea culpa), o tyle Twoja uwaga nie ma sensu, bo to nie ja wymyśliłem niektóre wartości funkcji f. Gdzie doszukujesz się sprzeczności w tym co napisał autor zadania: \(\displaystyle{ f(\frac{1}{n})=(-1)^n}\) dla n całkowitych dodatnich z moim oznaczeniem? Przecież \(\displaystyle{ f(x)=f(\frac{1}{n})}\) gdyby wprowadzić oznaczenie: \(\displaystyle{ x_i= \frac{1}{n_i}}\) (dla n całkowitych dodatnich).
I skąd Tobie wynika że -1 będzie podniesione do innej potęgi niż całkowita dodatnia?

[scyth]

Inkwizytor, czy wówczas funkcja \(\displaystyle{ h}\) (rozumiem, że to ta podana w pierwszym poście) jest rosnąca?

[Rogal]

Rogala i Dumela

To tak z rozpędu się napisało? Nawet Firefox podkreśla