Matematyka.pl

Treść zadania: "Dla jakich języków L domknięcie Kleene'go L* jest zbiorem jednoelementowym, a dla jakich zbiorem skończonym".

Wychodzi mi, że dla \(\displaystyle{ L={\o}, L=\lbrace \lambda \rbrace}\) bedą zbiory jednoelementowe - i też jedyne skończone. Dobrze myślę...?

Dzięki.

Uzasadnienie braku jednostajnej zbieżności będzie takie samo jak w przypadku, gdy ten ciąg funkcyjny jest określony na R?

Przepraszam, mój błąd, miał być przedział (-1,1).

Zbadać zbieżność punktową i jednostają ciągu funkcyjnego: \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{5}{e^{3nx}+1}}\)

Od razu pytanie: czy granica punktowa nie istnieje, jeśli przyjmuje różne wartości dla różnych przedziałów x...?

\(\displaystyle{ \frac{dF}{dx}=\frac{y^{2}-x^{2}y^{2}-2xy^{3}}{2(x+y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dF}{dy}=\frac{x^{2}-x^{2}y^{2}-2x^{3}y}{2(x+y)^{2}}}\)

a) F(x,y,z)=x^{3}+2y^{3}+z^{3}-3xyz+2y=0

Różniczkujemy obustronnie F(x,y,z) względem zmiennej x :
3x^{2}+3z^{2}z'_{x}-3yz-3xyz'_{x}=0
z'_{x}=\frac{zy-x^{2}}{z^{2}-xy} , gdzie z^{2}-xy 0

Różniczkujemy obustronnie F(x,y,z) względem zmiennej y :
6y^{2}+3z^{2}z'_{y}-3xz-3xyz'_{y}+2=0
z'_{y ...

Ewentualnie tak.

\int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}dx

Przez części:
u(x)=x^{2} v'(x)=x\sqrt{4-x^{2}}
u'(x)=2x v(x)=?

Obliczamy v(x) przez podstawienie:
t=4-x^{2}
dt=-2x

v(x)=-\frac{1}{2}\int\sqrt{t}dt=-\frac{1}{3}\sqrt{t^{3}}+C=-\frac{1}{3}\sqrt{(4-x^{2})^{3}}+C

Czyli nasza całka wyjściowa ...

Jest dobrze.

Liczymy pochodną tej funkcji z definicji:
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)e^{-(x+h)^{2}}-xe^{-x^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{xe^{-(x+h)^2}+he^{-(x+h)^2}-xe^{-x^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{xe^{-x^{2}}(e^{-2xh-h^{2}}-1)+he^{-(x+h)^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0} xe^{-x^{2 ...

Podstawienie:
t=\sqrt{x}
dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

\int \frac{1}{(3+x)\sqrt{x}}dx=\int \frac{2}{3+t^2}dt=2\int \frac{1}{3(1+\frac{t^2}{3})}dt=\frac{2}{3} t \frac{1}{1+\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^{2}}dt .

Drugie podstawienie:
k=\frac{t}{\sqrt{3}}
dk=\frac{1}{\sqrt{3}}dt

\frac{2}{3} t ...

Można to zrobić przez podstawienie:
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{-1}{x^2}dx}\)

Czyli nasza całka wyraża się tak: \(\displaystyle{ \int -e^{t}dt=-e^{t}+C=-e^{\frac{1}{x}}+C}\).

Tak powinna wyglądać ta całka po ziterowaniu:
\int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + t\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + t\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{4}f(x,y) dx

Najpierw musimy wyznaczyć sobie obszar ...