całka nieoznaczona z pierwiastkiem

[violator88]

\(\displaystyle{ \int x^3\sqrt{4-x^2}}\)

Instrukcja LaTeX-a - wpisywanie wyrażeń matematycznych
Poprawiłem zapis.
Szemek

[s_ylwia]

ja bym to zrobila tak
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x*x ^{2} \sqrt{4-x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4-x ^{2} =t ^{2}
dx= \frac{-tdt}{x}}\)
\(\displaystyle{ - ( t ^{2} -4)tdt}\)
\(\displaystyle{ -\int_{}^{} t ^{3}dt + 4tdt}\)
\(\displaystyle{ = \frac{-t ^{4} }{4} +2t ^{2}}\)
a pozniej wracamy do starej zmiennej

[Niebieski.]

Ewentualnie tak.

\(\displaystyle{ \int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}dx}\)

Przez części:
\(\displaystyle{ u(x)=x^{2}}\) \(\displaystyle{ v'(x)=x\sqrt{4-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ u'(x)=2x}\) \(\displaystyle{ v(x)=?}\)

Obliczamy \(\displaystyle{ v(x)}\) przez podstawienie:
\(\displaystyle{ t=4-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ dt=-2x}\)

\(\displaystyle{ v(x)=-\frac{1}{2}\int\sqrt{t}dt=-\frac{1}{3}\sqrt{t^{3}}+C=-\frac{1}{3}\sqrt{(4-x^{2})^{3}}+C}\)

Czyli nasza całka wyjściowa wygląda tak:
\(\displaystyle{ \int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}dx=\frac{-x^{2}}{3}\sqrt{(4-x^{2})^{3}}+\frac{2}{3}\int x\sqrt{(4-x^{2})^{3}}}\)

Drugą całkę możemy rozwiazać przez poprzednie podstawienie:
\(\displaystyle{ t=4-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ dt=-2x}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3}\int x\sqrt{(4-x^{2})^{3}}=\frac{-1}{3}\int \sqrt{t^{3}}=-\frac{2}{15}\sqrt{t^5}+C=-\frac{2}{15}\sqrt{(4-x^{2})^5}+C}\)

I ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}dx=\frac{-x^{2}}{3}\sqrt{(4-x^{2})^{3}}-\frac{2}{15}\sqrt{(4-x^{2})^5}+C}\)