Zbieżność punktowa i jednostajna.

[Niebieski.]

Zbadać zbieżność punktową i jednostają ciągu funkcyjnego: \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{5}{e^{3nx}+1}}\)

Od razu pytanie: czy granica punktowa nie istnieje, jeśli przyjmuje różne wartości dla różnych przedziałów x...?

[klaustrofob]

na jakim zbiorze ta zbieżność? na R? dla x>0 jest \(\displaystyle{ e^{3nx}\to \infty}\), bo \(\displaystyle{ e^{3x}>1}\) i \(\displaystyle{ f_n(x)\to 0}\). dla x=0 w mianowniku mamy \(\displaystyle{ f_n(x)=2}\). dla x

[Niebieski.]

Przepraszam, mój błąd, miał być przedział (-1,1).

[klaustrofob]

no to
\(\displaystyle{ \lim f_n(x)=\begin{cases}0\ dla\ x\in(0,1)\\
\frac{5}{2}\ dla\ x=0\\
5\ dla\ x\in(-1,0)
\end{cases}}\)

[Niebieski.]

Uzasadnienie braku jednostajnej zbieżności będzie takie samo jak w przypadku, gdy ten ciąg funkcyjny jest określony na R?

[klaustrofob]

ten sam argument - nie jest jednostajnie zbieżny, bo wyrazy ciągu są funkcjami ciągłymi, a funkcja graniczna nie.

[Niebieski.]

Dzięki.