Mam takie zadanie:
Pokazać że funkcja \(\displaystyle{ f, f(x) = x* e^{- x^{2} }}\) jest różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{1}{ \sqrt{2} } , + )}\)
Pozdrawiam
różniczkowalność na przedziale
-
dziadek_18
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 17:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z nienacka
- Podziękował: 8 razy
-
Niebieski.
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 17 kwie 2008, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: znad morza.
- Pomógł: 1 raz
różniczkowalność na przedziale
Liczymy pochodną tej funkcji z definicji:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)e^{-(x+h)^{2}}-xe^{-x^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{xe^{-(x+h)^2}+he^{-(x+h)^2}-xe^{-x^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{xe^{-x^{2}}(e^{-2xh-h^{2}}-1)+he^{-(x+h)^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0} xe^{-x^{2}}\frac{e^{-h(2x+h)}-1}{h}+\frac{he^{-(x+h)^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0} -(2x+h)xe^{-x^{2}}\frac{e^{-h(2x+h)}-1}{-h(2x+h)}+\frac{he^{-(x+h)^{2}}}{h}.}\)
Jeśli podstawimy \(\displaystyle{ k=-h(-2x-h)}\) (dla \(\displaystyle{ h \to 0}\) także \(\displaystyle{ k \to 0}\)) w pierwszym ułamku, to możemy skorzystać z własności: \(\displaystyle{ \lim_{k \to 0} \frac{e^{k}-1}{k}=1}\).
Czyli wychodzi nam, że:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} -(2x+h)xe^{-x^{2}}+\frac{he^{-(x+h)^{2}}}{h}=-2x^{2}e^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}}\)
Widać z tego, że wyznaczona funkcja pochodnej dla każdego \(\displaystyle{ x (\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)}\) jest określona, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{x^{2}}}}\) nigdy w mianowniku nie będzie mieć zera, czyli funkcja jest różniczkowalna w tym przedziale.
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)e^{-(x+h)^{2}}-xe^{-x^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{xe^{-(x+h)^2}+he^{-(x+h)^2}-xe^{-x^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{xe^{-x^{2}}(e^{-2xh-h^{2}}-1)+he^{-(x+h)^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0} xe^{-x^{2}}\frac{e^{-h(2x+h)}-1}{h}+\frac{he^{-(x+h)^{2}}}{h}=\lim_{h \to 0} -(2x+h)xe^{-x^{2}}\frac{e^{-h(2x+h)}-1}{-h(2x+h)}+\frac{he^{-(x+h)^{2}}}{h}.}\)
Jeśli podstawimy \(\displaystyle{ k=-h(-2x-h)}\) (dla \(\displaystyle{ h \to 0}\) także \(\displaystyle{ k \to 0}\)) w pierwszym ułamku, to możemy skorzystać z własności: \(\displaystyle{ \lim_{k \to 0} \frac{e^{k}-1}{k}=1}\).
Czyli wychodzi nam, że:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} -(2x+h)xe^{-x^{2}}+\frac{he^{-(x+h)^{2}}}{h}=-2x^{2}e^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}}\)
Widać z tego, że wyznaczona funkcja pochodnej dla każdego \(\displaystyle{ x (\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)}\) jest określona, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{x^{2}}}}\) nigdy w mianowniku nie będzie mieć zera, czyli funkcja jest różniczkowalna w tym przedziale.