Wyznaczyć \(\displaystyle{ z^{'} _{x}, z^{'} _{y}}\), jeęeli funkcja uwikłana z(x,y)dana jest równaniem:
a) \(\displaystyle{ x^{3} +2 y^{3} + z ^{3} - 3xyz+2y=0}\)
b)\(\displaystyle{ x+y+z=e ^{z}}\)
c)\(\displaystyle{ zln(x+z)= \frac{xy}{z}}\)
wyznaczyć zx, zy oraz zxy jeżeli funkcja uwikłana (x,y) ...
-
Niebieski.
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 17 kwie 2008, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: znad morza.
- Pomógł: 1 raz
wyznaczyć zx, zy oraz zxy jeżeli funkcja uwikłana (x,y) ...
a)\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^{3}+2y^{3}+z^{3}-3xyz+2y=0}\)
Różniczkujemy obustronnie \(\displaystyle{ F(x,y,z)}\) względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ 3x^{2}+3z^{2}z'_{x}-3yz-3xyz'_{x}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}=\frac{zy-x^{2}}{z^{2}-xy}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}-xy 0}\)
Różniczkujemy obustronnie \(\displaystyle{ F(x,y,z)}\) względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ 6y^{2}+3z^{2}z'_{y}-3xz-3xyz'_{y}+2=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}=\frac{-6y^{2}+3xz-2}{3z^{2}-3xy}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}-xy 0}\)
b)\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x+y+z-e^{z}=0}\)
Różniczkujemy obustronnie po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ 1+z'_{x}-e^{z}z'_{x}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}=\frac{-1}{1-e^{z}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1-e^{z}\neq 0}\)
Różniczkujemy obustronnie po \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ 1+z'_{y}-e^{z}z'_{y}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}=\frac{-1}{1-e^{z}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1-e^{z} 0}\)
c) \(\displaystyle{ F(x,y,z)=zln(x+z)-\frac{xy}{2}=0}\)
Różniczkujemy po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ z'_{x}ln(x+z)+\frac{z(1+z'_{x})}{x+z}-\frac{zy-xyz'_{x}}{z^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}\left (ln(x+z)+\frac{z}{x+z}+\frac{xy}{z^2}\right)=\frac{yz}{z^{2}}-\frac{z}{x+z}}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}=\frac{zy(x+z)-z^{3}}{z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z)} 0}\)
Różniczkujemy po \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ z'_{y}ln(x+z)+\frac{zz'_{y}}{x+z}-\frac{xz-xyz'_{y}}{z^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}\left(ln(x+z)+\frac{z}{x+z}+\frac{xy}{z^{2}}\right)=\frac{-z}{x+z}}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}=\frac{-z^{3}}{z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z) 0}\)
Różniczkujemy obustronnie \(\displaystyle{ F(x,y,z)}\) względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ 3x^{2}+3z^{2}z'_{x}-3yz-3xyz'_{x}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}=\frac{zy-x^{2}}{z^{2}-xy}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}-xy 0}\)
Różniczkujemy obustronnie \(\displaystyle{ F(x,y,z)}\) względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ 6y^{2}+3z^{2}z'_{y}-3xz-3xyz'_{y}+2=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}=\frac{-6y^{2}+3xz-2}{3z^{2}-3xy}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}-xy 0}\)
b)\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x+y+z-e^{z}=0}\)
Różniczkujemy obustronnie po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ 1+z'_{x}-e^{z}z'_{x}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}=\frac{-1}{1-e^{z}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1-e^{z}\neq 0}\)
Różniczkujemy obustronnie po \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ 1+z'_{y}-e^{z}z'_{y}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}=\frac{-1}{1-e^{z}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1-e^{z} 0}\)
c) \(\displaystyle{ F(x,y,z)=zln(x+z)-\frac{xy}{2}=0}\)
Różniczkujemy po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ z'_{x}ln(x+z)+\frac{z(1+z'_{x})}{x+z}-\frac{zy-xyz'_{x}}{z^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}\left (ln(x+z)+\frac{z}{x+z}+\frac{xy}{z^2}\right)=\frac{yz}{z^{2}}-\frac{z}{x+z}}\)
\(\displaystyle{ z'_{x}=\frac{zy(x+z)-z^{3}}{z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z)} 0}\)
Różniczkujemy po \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ z'_{y}ln(x+z)+\frac{zz'_{y}}{x+z}-\frac{xz-xyz'_{y}}{z^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}\left(ln(x+z)+\frac{z}{x+z}+\frac{xy}{z^{2}}\right)=\frac{-z}{x+z}}\)
\(\displaystyle{ z'_{y}=\frac{-z^{3}}{z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ z^{2}(x+z)ln(x+z)+z^{3}+xy(x+z) 0}\)