Matematyka.pl

Witam
Moje równanie:
\(\displaystyle{ \ddfrac {x}{t}= \exp \left( \frac {x}{t} \right) + \frac {x} {t} \\
x \left( 1 \right) = 0}\)

Rozwiązanie :
\(\displaystyle{ x \left( t \right) = -t \cdot \ln \left| -\ln \left| t \right| + 1 \right|}\)

Wszystko w porządku w rozwiązaniu, z wartością bezwzględną? Proszę o sprawdzenie.

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \delta(t) dt = 1}\)
\(\displaystyle{ \delta(t) = \begin{cases} +\infty, t=0 \\ 0 , t \neq 0 \end{cases}}\)

A tutaj (w transformacie Laplace'a) są granice całkowania od 0 do nieskończoności.

Jak rozpisać coś takiego? Zależy mi na pokazaniu z definicji.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \delta(t) * e ^ {- s t} dt}\)

Pierwszy krok robisz niepoprawnie:

\mathcal{I}(n) = \int_{0}^{ \infty } e^{-s t} * t ^{n} dt=\\
\\
\left.-\frac{t^ne^{-st}}{s}\right|_{0}^{\infty}+\frac{n}{s}\mathcal{I}(n-1)
...
Napisałem to w pierwszym poście(jako całka nieoznaczona). Ale teraz widzę, że będzie się tylko liczył ten składnik ...

Przez części to wiem, wzór na n-tą całkę to (proszę o sprawdzenie):
\(\displaystyle{ \frac{- e ^{-s t}}{s} * \sum_{i=0}^{n} * \frac{n! * t^{n-i}}{(n-i)! * s^{i}}}\) ?

Witam
Mam do policzenia całeczke (transformata Laplace'a z definicji dla t^{n} ):
\mathcal{I} = \int_{0}^{ \infty } e^{-s t} * t ^{n} dt
Całka nieoznaczona jest rekurencyjna, jak wyprowadzić wzór w postaci ogólnej ?
\mathcal{I}(n) = \frac{-e ^{-s t} * t ^{n} + n * \mathcal{I}(n-1) }{s}
Proszę o ...

Udowodnij, że \cos n \omega t i \sin m \omega t , gdzie n, m > 0 są ortogonalne na odcinku \left[ t_0\right, t_0+T] gdzie T = \frac {2 \pi}{\omega}

Policzyłem całkę : \int_{t_0}^{t_0+\frac{2 \pi}{\omega} } (\cos n \omega t )(\sin m \omega t) dt
Wynik całki nieoznaczonej sprawdziłem z Wolframem ...

Dokładnie tak - tym bardziej, że prowadzący pod oznaczeniem \(\displaystyle{ \lg}\) rozumie logarytm binarny, a nie dziesiętny.
Temat uważam za zamknięty.

Rozwiąż układ równań rekurencyjnych (zakładając, że N jest potęgą dwójki)
T(1) = 1
T(N) = c (\lg N) + T(N/2) dla N \ge 2


Próbowałem w taki sposób :
T(N) = c(\lg N) + c(\lg \frac{N}{2}) + c(\lg \frac{N}{4}) + ... + c (\lg 2) + 1
T(N) = c (\lg (N * \frac{N}{2} * \frac{N}{4} * ... * 2) )+ 1 ...

Prawa De Morgana, ew. tablica Karnaugha. Zapisujesz w kanonicznej postaci dysjunkcyjnej. A potem układ AND-OR zamieniasz na NANDy jak w tym linku: punkt Q21
Wykład dr. inż Kwiatkowskiego również poruszał tą tematykę

\cos^{2} \in \left\langle 0;1 \right\rangle
Skoro tak to :
t = 3 \cos^{2}+1 \in \left\langle 1;4\right\rangle

Jak robisz takie podstawienie to masz:
f(t) = 2t^2 - 12t + 16
Parabola do góry, wartość najmniejsza w punkcie t = 3 (sprawdzamy czy pasuje do założenia!)
Wartość największa, im dalej ...

To po prostu odległość między dwoma punktami(Pitagoras!) \(\displaystyle{ S1}\) i \(\displaystyle{ S2}\)
Najprościej chyba:
\(\displaystyle{ \sqrt{ (1-1)^2 + (m+m)^2} = r_{1} + r_{2}}\)
\(\displaystyle{ |2m| = 1 + |m-2|}\)
I na przedziałach policzyć ?

Dorzuć założenie, że \(\displaystyle{ r_{2} = |m-2| \neq 0}\) Aby to był rzeczywiście okrąg, a nie punkt.

Może pomoże: \(\displaystyle{ cos(2x+ \frac{ \pi }{3})= cos(2(x+ \frac{ \pi }{6}))=1}\)

Przesuwasz o to co stoi przy zmiennej x czyli \(\displaystyle{ [-\frac{\pi}{6}, 0 ]}\)

Ad 1)
Parabola skierowana w dół więc wartość największa w punkcie W(p,q)
Ogólnie p = -\frac{b}{2a}
Tutaj p = -\frac{b}{-4}
Z zadania p = \frac{1}{4}
Więc b = 1
Potem już tylko podstawić do funkcji f wskazany argument.

Ad 2)
Liczymy miejsce zerowe funkcji f(x) =0 \Leftrightarrow x = -5
Z ...

Jeden pierwiastek zespolony równania już masz : \(\displaystyle{ 9-2i}\)
Skorzystaj później z interpretacji trygonometrycznej i zastosuj odpowiedni wzór na znalezienie pozostałych.
Pierwiastek liczby zespolonej