Matematyka.pl

witam, mam pytanie dotyczące istnienia punktu siodłowego funkcji dwóch zmiennych:

wiemy, że funkcja dwóch zmiennych posiada minimum (maksimum) lokalne w danym punkcie, jeśli jej macierz drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie jest dodatnio (ujemnie) określona - a jak się ma przypadek punktu ...

no właśnie ten parametr \(\displaystyle{ a}\) knoci tu wszystko
patrzyłem we wolframie jak taki wykres (funkcji dwóch zmiennych) będzie wyglądał, wpisując konkretną wartość \(\displaystyle{ a}\) - i wyszł, ze będą różne wykresy dla \(\displaystyle{ a>0}\) i dla \(\displaystyle{ a<0}\)

ok, ale jak weźmiemy np \(\displaystyle{ x=1,y=-1}\) to też nie spełnia juz pierwszego równania układu

nie próbowałem, ale po twojej podpowiedzi dodałem i wyszło \(\displaystyle{ (x+y)(1+2ae^{a(x^2 +y^2 )})=0}\)
i tu z pierwszego czynnika dostajemy \(\displaystyle{ x=y}\), ale podstawiając do układu \(\displaystyle{ x=y=1}\) nie wychodzi

no a co wyjdzie z drugiego czynnika - w zależności od znaku \(\displaystyle{ a}\)?

wklepałem ten układ do wolframu - i wychodzą "cudaczne " rozwiązania-- 14 grudnia 2012, 20:15 --w sumie to na pierwszy rzut oka widać że x=0 i y=0 spełniają układ - pytanie tylko cy jest to jedyne rozwiazanie

a jakby przyjąć chwilow , że a=1 łatwiej było by go rozwiązać? może potem by się rozjaśniło jak by było ogólnie dla a?

w sumie to taki układ dostałem licząc ekstrema lokale funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=xy+e^{a(x^2 +y^2 )}}\) , gdy przyrównałem pochodne cząstkowe do zera, ale jak go zacząć rozwiązywać nie mam pojęcia. A może w jakiś inny sposób da się wyliczyć ekstrema takiej funkcji??

i jeszcze mam trudności z ostatnim układem
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y+2axe^{a(x^2 +y^2 )}=0\\
x+2aye^{a(x^2 +y^2 )}=0\\
\end{cases}}\)
od czego w takim przypadku zacząć?

ok czyli pierwsze zapisać w postaci \(\displaystyle{ (y-x)(y-2)=0}\) wtedy \(\displaystyle{ y=x \lor y=2}\) i podstawiam do drugiego

a jeszcze mam pytanie o taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-xy+y^2 +2x-2y=0\\
-x^2 +4xy+y^2-4x-4y=0\\
\end{cases}}\)

czy w 2) chodzi o przypadek, gdy hesjan wyosi 0?

ok - dzieki

dwie możliwości:
1) układ posiada 1-parametrową rodzinę rozwiązan czyli y będzie zależał od x - rozwiązaniem będzie zbiór punktów prostej - czyli nieskończenie wiele punktów stacjonarnych - co wtedy?
a 2) - jaka?

jak zacząć rozwiązywanie takiego układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}
3x^2 -6x-3y^2 +6y=0\\
-6xy+6x+36y=0\\
\end{cases}}\)
proszę o podpowiedź

licze takie zadanie: znaleźć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji f(x,y)=(ax+by)e^{cx+dy}
policzylem pochodne cząstkowe
f_x ' =(acx+bcy+a)e^{cx+dy}
f_y ' =(adx+bdy+b)e^{cx+dy}
przyrównuję je do zera - czyli rozwiązuje układ
\begin{cases}
acx+bcy=-a\\
adx+bdy=-b
\end{cases}
i wychodzi ...