układ równań - nie liniowych

[anna_]

A próbowałeś to po prostu dodać stronami?

[dyfeomorfizm]

nie próbowałem, ale po twojej podpowiedzi dodałem i wyszło \(\displaystyle{ (x+y)(1+2ae^{a(x^2 +y^2 )})=0}\)
i tu z pierwszego czynnika dostajemy \(\displaystyle{ x=y}\), ale podstawiając do układu \(\displaystyle{ x=y=1}\) nie wychodzi

no a co wyjdzie z drugiego czynnika - w zależności od znaku \(\displaystyle{ a}\)?

[anna_]

Z pierwszego dostajesz \(\displaystyle{ x=-y}\)

Drugi trzeba rozwiązywać tak jak piszesz, w zależności od \(\displaystyle{ a}\)

[dyfeomorfizm]

ok, ale jak weźmiemy np \(\displaystyle{ x=1,y=-1}\) to też nie spełnia juz pierwszego równania układu

[anna_]

Ale dla \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ y=-1}\) to równanie będzie spełnione dla jakiegoś tam \(\displaystyle{ a}\).

Prawdę mówiąc, nie bardzo wiem co z tym \(\displaystyle{ a}\) zrobić.

[dyfeomorfizm]

no właśnie ten parametr \(\displaystyle{ a}\) knoci tu wszystko
patrzyłem we wolframie jak taki wykres (funkcji dwóch zmiennych) będzie wyglądał, wpisując konkretną wartość \(\displaystyle{ a}\) - i wyszł, ze będą różne wykresy dla \(\displaystyle{ a>0}\) i dla \(\displaystyle{ a<0}\)

[Vardamir]

Według Wolframa ta funkcja nie ma ekstremów.

Spróbujmy tak, choć nie wiem czy to coś da. Rozpatrzmy kiedy drugi nawias się zeruje.

\(\displaystyle{ 1+2ae^{a(x^2 +y^2 )}=0 \\ \\
e^{a(x^2 +y^2 )}=-\frac{1}{2a}}\)

Zatem a musi być ujemne. Logarytmujemy obie strony.

\(\displaystyle{ a(x^2 +y^2 )=\ln (-\frac{1}{2a})\\
x^2+y^2=\frac{\ln (-\frac{1}{2a})}{a}}\)

Wiemy, że a musi być ujemne. Zmieńmy je na dotadnie.

\(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{\ln (\frac{1}{2a})}{-a} \\ \\
x^2+y^2=\frac{\ln (2a)}{a}}\)

Stąd \(\displaystyle{ a \ge \frac{1}{2}}\). Jednak dla \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\) musimy mieć \(\displaystyle{ x=0,y=0}\) które już wykluczyliśmy. Czyli pozostaje sprawdzić punkty leżące na okregach \(\displaystyle{ x^2+y^2=c}\) dla \(\displaystyle{ c >0}\). Albo wrócić do funkcji i sprawdzić jak się zachowuje dla \(\displaystyle{ a \ge \frac{1}{2}}\)

[Dilectus]

Ja bym to rozwiązał tak:
1.) x = 0 i y = 0

2.) zostawiam po lewej stronie w pierwszym równaniu x, w drugim y, a resztę przenoszę na prawą stronę. Zakładam, że x<>0 i y<>0 i dzielę stronami pierwsze równanie przez drugie, otrzymując równanie:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) \(\displaystyle{ = \frac{x}{y}}\)
z czego wynika, że:
\(\displaystyle{ \left| x\right| = \left| y\right|}\)
Biorąc pod uwagę 1.) i 2.) dochodzimy do wnioaku, że układ spełniają wszystkie punkty prostych

y = x
i
y = -x