ekstremum funkcji dwóch zmiennych

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 13 gru 2012, o 22:04

licze takie zadanie: znaleźć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=(ax+by)e^{cx+dy}}\)
policzylem pochodne cząstkowe
\(\displaystyle{ f_x ' =(acx+bcy+a)e^{cx+dy}}\)
\(\displaystyle{ f_y ' =(adx+bdy+b)e^{cx+dy}}\)
przyrównuję je do zera - czyli rozwiązuje układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}
acx+bcy=-a\\
adx+bdy=-b
\end{cases}}\)
i wychodzi, że wyznacznik główny tego układu wynosi zero - jeśli by wyszedł niezerowy, to wiem że następnie liczymy drugie pochodne cząstkowe i sprawdzamy określoność ich macierzy dla punktów stacjonarnych - ale co zrobić w takim przypadku - prosze o jakieś podpowiedzi

Post autor: **Rogal** » 13 gru 2012, o 22:20

Skoro zero, to masz dwie możliwości, co do rozwiązań tego układu - przemyśl obie.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 13 gru 2012, o 22:23

\(\displaystyle{ \begin{cases}W_x=b(bc-ad)=0\\W_y=a(ad-bc)=0\end{cases}}\)

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 13 gru 2012, o 22:30

dwie możliwości:
1) układ posiada 1-parametrową rodzinę rozwiązan czyli y będzie zależał od x - rozwiązaniem będzie zbiór punktów prostej - czyli nieskończenie wiele punktów stacjonarnych - co wtedy?
a 2) - jaka?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 13 gru 2012, o 22:32

1) sprawdzasz określoność dla każdego punktu prostej
2) wtedy nie ma ekstremów

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 13 gru 2012, o 22:35

czy w 2) chodzi o przypadek, gdy hesjan wyosi 0?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 14 gru 2012, o 00:13

Nie, o taki, gdy w żadnym punkcie obie pochodne nie są jednocześnie zerem.