układ równań - nie liniowych

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 13 gru 2012, o 22:26

jak zacząć rozwiązywanie takiego układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}
3x^2 -6x-3y^2 +6y=0\\
-6xy+6x+36y=0\\
\end{cases}}\)
proszę o podpowiedź

Post autor: **loitzl9006** » 13 gru 2012, o 22:30

Drugie równanie podzielić przez \(\displaystyle{ 6}\) obustronnie, wyznaczyć np. \(\displaystyle{ x}\) z drugiego równania, i wstawić do pierwszego (pierwsze można wcześniej trochę uprościć dzieląc przez \(\displaystyle{ 3}\).

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 13 gru 2012, o 22:33

ok - dzieki

HuBson · Post autor: **HuBson** » 14 gru 2012, o 02:13

\(\displaystyle{ \begin{cases}
3x^2 -6x-3y^2 +6y=0\\
-6xy+6x+36y=0\\
\end{cases}}\)
Z pierwszego równania
\(\displaystyle{ 3x^2 -6x-3y^2 +6y=0\\
x^2-y^2-2x+2y=0\\
(x-y)(x+y)-2(x-y)=0\\
(x-y)(x+y-2)=0}\)
Czyli układ ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x-y=0}\) lub \(\displaystyle{ x+y-2=0}\)
wstawiasz po kolei te równania do drugiego równania podanego w zadaniu a dalej to już tylko funkcja kwadratowa...

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 14 gru 2012, o 17:42

a jeszcze mam pytanie o taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-xy+y^2 +2x-2y=0\\
-x^2 +4xy+y^2-4x-4y=0\\
\end{cases}}\)

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 14 gru 2012, o 17:44

Pierwsze równanie bym przekształcił do postaci iloczynowej i z obydwu nawiasów wyznaczył \(\displaystyle{ y}\), no i potem podstawił do drugiego równania.

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 14 gru 2012, o 17:50

ok czyli pierwsze zapisać w postaci \(\displaystyle{ (y-x)(y-2)=0}\) wtedy \(\displaystyle{ y=x \lor y=2}\) i podstawiam do drugiego

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 14 gru 2012, o 17:52

Tak. Przynajmniej ja bym tak zrobił

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 14 gru 2012, o 17:53

i jeszcze mam trudności z ostatnim układem
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y+2axe^{a(x^2 +y^2 )}=0\\
x+2aye^{a(x^2 +y^2 )}=0\\
\end{cases}}\)
od czego w takim przypadku zacząć?

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 14 gru 2012, o 17:58

O mamo! Z tym to chyba nie pomogę
Bo to \(\displaystyle{ a}\) to pewnie parametr jakiś i trzeba jeszcze wyznaczyć rozwiązania w zależności od \(\displaystyle{ a}\)?

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 14 gru 2012, o 19:45

w sumie to taki układ dostałem licząc ekstrema lokale funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=xy+e^{a(x^2 +y^2 )}}\) , gdy przyrównałem pochodne cząstkowe do zera, ale jak go zacząć rozwiązywać nie mam pojęcia. A może w jakiś inny sposób da się wyliczyć ekstrema takiej funkcji??

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 14 gru 2012, o 19:55

Gdyby nie to nieszczęsne \(\displaystyle{ a}\), to może jakoś by to poszło. Ja nie mam na to pomysłu niestety.

W sumie możesz wyznaczyć z pierwszego równania \(\displaystyle{ y}\) i spróbować podstawić do drugiego i zobaczyć czy coś wyjdzie ;D

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 14 gru 2012, o 19:58

a jakby przyjąć chwilow , że a=1 łatwiej było by go rozwiązać? może potem by się rozjaśniło jak by było ogólnie dla a?

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 14 gru 2012, o 19:59

Myślę, że byłoby łatwiej choć nie próbowałem, bo mi się szczerze nie chce

dyfeomorfizm · Post autor: **dyfeomorfizm** » 14 gru 2012, o 20:06

wklepałem ten układ do wolframu - i wychodzą "cudaczne " rozwiązania-- 14 grudnia 2012, 20:15 --w sumie to na pierwszy rzut oka widać że x=0 i y=0 spełniają układ - pytanie tylko cy jest to jedyne rozwiazanie