Matematyka.pl

f(x,y) = \frac{x-2y}{1+ 4x^2 + 9y^2}

(x,y) \in R^2


Musze znaleźć kresy tej funkcji. Badając na jakiej prostej za bardzo mi nie wychodzi, bo x i y nieograniczone z kazdej strony. Miałem pomysł, żeby ograniczyć to do jakiegoś zbioru np okręgu tak, żebym wiedział, ze poza nim na pewno funkcja ...

Wyznaczyć wszystkie punkty płaszczyzny, w których funkcja \(\displaystyle{ f}\) określona wzorem

\(\displaystyle{ f(x,y) = |e^x - y|(e^x - 1)}\) jest różniczkowalna

wiadomo, że jeśli \(\displaystyle{ y \neq e^x}\) to pochodne cząstkowe istnieją w każdym punkcie i jest różniczkowalna

Moje podejrzenie pada na punkty postaci \(\displaystyle{ (x, e^x)}\)

\frac{ \partial f}{ \partial x} = x \cdot sin((x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2} }) -x((x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2} }) \cdot cos((x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2} })

po przejściu na wsp. biegunowe:

\frac{ \partial f}{ \partial r} = rcos \alpha \cdot sin(\frac{1}{r} ) - cos \alpha \cdot cos(\frac{1}{r})

zatem ...

Mam taką funkcję

f(x,y) = (x^2 + y^2) sin( \frac{1}{ \sqrt{x^2 + y^2} }) dla (x,y) \neq 0

f(0) = 0

i mam wykazać, że jest różniczkowalna w każdym otoczeniu (0,0) , ale nie jest klasy C^1 w żadnym otoczeniu (0,0) to jak mam to rozumieć? Chodzi mi głównie o otoczenie.

funkcja jest symetryczna ...

\(\displaystyle{ F(x,y) = \frac{x \sqrt{|x|}y^3 }{|x|(y^4 + x^2)}}\)


Mam sprawdzić czy istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(0,0) }F(x,y)}\)


\(\displaystyle{ F(0,0)=0}\).

Próbowałem biegunowymi, ale wychodzi mi zależność od funkcji trygonometrycznych

Czy funkcja f(x,y) = \sin( \frac{ \pi }{1 - (x^2 + y^2)} ) jest jednostajnie ciągła na kole {(x,y) \in R^2: x^2 + y^2 <1}

z tego co wyczytałem w skrypcie to jeśli zbiór argumentów jest zwarty, a funkcja jest ciągła to funkcja jest jednostajnie ciągła, ale ten zbiór zwarty nie jest, bo nie jest ...

czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1-\cos ((x+y)^2)}{x^2 + y^2}&\mbox{ dla }(x,y) \neq (0,0) \\ 0&\mbox{ dla }(x,y) = (0,0)\end{cases}}\)

jest ciągła w \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

Wyznaczyć wszystkie punkty, w których f jest różniczkowalna.

f \left( x,y \right) = \begin{cases} \frac{\ln \left( 1+xy \right) }{y}&\mbox{ dla }y \neq 0 \\ x&\mbox{ dla }y = 0 \end{cases}

dla y = 0 pochodne cząstkowe są ciągłe zatem jest różniczkowalna

dla y \neq 0

\frac{ \partial f ...

A ={(x,y): (||(x+2,y)||_{ \infty } -1)(||(x-2,y)||_{1}-1)(||(x,y)||_{2}-1)=0}

f:A \rightarrow R ciągła oraz f(-3,0) = - 1 = f(3,0) i f(-1,0) . Jaka jest minimalna liczba punktów z A , w których f przyjmuje wartość 0 ?


Co do zbioru A to z normy taksówkowej wychodzi kwadrat o wierzchołkach w (1 ...

0 \le |xy\ln (x^2 + y^2)| \le |xy\ln (x^2)| = |2xy\ln (x)| = \left| 2y \frac{\ln (x)}{ \frac{1}{x} }\right| = \left| 2y \frac{-\ln (x^{-1})}{ \frac{1}{x} }\right| = \left| -2y \frac{\ln (\frac{1}{x})}{ \frac{1}{x} }\right|

niech t = \frac{1}{x} \wedge y \in \RR wtedy \lim_{t \to \infty } -2y ...

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } (x^2 + y^2)^{xy}}\) wolfram pokazuje mi granicę równą \(\displaystyle{ 0}\), ale przecież przy podciagach \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n} \wedge y = \frac{1}{n}}\) wychodzi nam granica równa \(\displaystyle{ 1}\). Jakaś podpowiedź?

rzeczywiście, popełniłem błąd w rachunkach, po podniesieniu obustronnie do kwadratu dwa razy i redukowaniu wyrazów podobnych wyszło mi \(\displaystyle{ (ad - cb)^2 \ge 0}\) także dziękuję za pomoc i tak

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0) } \frac{\min \{x,y\}}{\min \{x,y\}}}\)

Nie wiem jak w ogóle sie zabierać z takie funkcje z min/max. jakieś założęnia dla\(\displaystyle{ x \ge y \wedge x<y}\)?

zamieniłem w tamtym miejscu \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ y}\) na \(\displaystyle{ w}\), teraz to wygląda klarowniej. Wiem dokładnie co mam udowodnić, ale nie wiem jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{a^2 +4b^2} + \sqrt{c^2 +4d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2 + 4(b+d)^2}}\)

\lim_{ (x,y)\to(0,0) } \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}

dla mnie to ewidentnie dąży do 0, bo licznik ma wyższą potęgę niż mianownik dlatego też nie będę wymyślał podciągów. Jeżeli chodzi o samo obliczenie takiej granicy, a nie udowodnienie, że nie istnieje ma jakiś schemat?

Widzę na przykład, że ...