czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1-\cos ((x+y)^2)}{x^2 + y^2}&\mbox{ dla }(x,y) \neq (0,0) \\ 0&\mbox{ dla }(x,y) = (0,0)\end{cases}}\)
jest ciągła w \(\displaystyle{ (0,0)}\)?
Ciągłość w punkcie (0,0)
-
MrRipley
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 22:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warsaw
- Podziękował: 41 razy
Ciągłość w punkcie (0,0)
Ostatnio zmieniony 6 lis 2016, o 00:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Ciągłość w punkcie (0,0)
Wystarczy sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-\cos ((x+y)^2)}{x^2 + y^2}=0}\)
Wskazówka: z rozwinięcia w szereg Maclaurina lub ze sztuczek ze znaną granicą
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \cos t \approx 1- \frac{t^2}{2}}\) dla małych co do modułu \(\displaystyle{ t}\).
Ale teraz widzę, że to trochę nieścisłe. Lepiej będzie udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \cos t \ge 1- \frac{t^2}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) (rachunek różniczkowy) - stąd dostaniesz, że \(\displaystyle{ 1-\cos((x+y)^2) \le \frac{(x+y)^4}{2}}\).
\(\displaystyle{ 1-\cos t \ge 0}\) (oczywiste) i cisnąć z twierdzenia o trzech funkcjach.
Aha, i do pełnego szczęścia przyda się też szacowanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{2}{(x+y)^2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-\cos ((x+y)^2)}{x^2 + y^2}=0}\)
Wskazówka: z rozwinięcia w szereg Maclaurina lub ze sztuczek ze znaną granicą
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \cos t \approx 1- \frac{t^2}{2}}\) dla małych co do modułu \(\displaystyle{ t}\).
Ale teraz widzę, że to trochę nieścisłe. Lepiej będzie udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \cos t \ge 1- \frac{t^2}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) (rachunek różniczkowy) - stąd dostaniesz, że \(\displaystyle{ 1-\cos((x+y)^2) \le \frac{(x+y)^4}{2}}\).
\(\displaystyle{ 1-\cos t \ge 0}\) (oczywiste) i cisnąć z twierdzenia o trzech funkcjach.
Aha, i do pełnego szczęścia przyda się też szacowanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{2}{(x+y)^2}}\)