Matematyka.pl

Czy jeśli w zbiorze \(\displaystyle{ X \subset N}\), w którym dla dowolnego \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,..}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\) liczb ze zbioru \(\displaystyle{ X}\), z których każde dwie różne są względnie pierwsze, to w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) istnieje nieskończony ciąg liczb, z których każde dwie różne są względnie pierwsze

Zastępując każdy element \(\displaystyle{ X}\) zbiorem jego dzielników pierwszych otrzymujemy równoważnie: czy jeśli w rodzinie podzbiorów skończonych zbioru liczb pierwszych \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) istnieją dowolnie duże skończone antyłańcuchy, to czy istnieje w niej antyłańcuch nieskończony? (Rodzinę zbiorów nazwiemy antyłańcuchem, jeśli każde jej dwa elementy są rozłączne. )

I odpowiedź jest pozytywna: niech \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) będzie taką rodziną. Zauważmy najpierw, że dla każdego skończonego \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{P}}\) istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ X \in \mathcal{X}}\) rozłącznych z \(\displaystyle{ A}\). Gdyby bowiem takich elementów rodziny było skończenie wiele, tj. \(\displaystyle{ m}\) sztuk, to wśród każdych \(\displaystyle{ m+|A|+1}\) elementów \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) znalazłoby się \(\displaystyle{ |A|+1}\) zbiorów niepusto krojących się z \(\displaystyle{ |A|}\), które na mocy zasady szufladkowej nie byłyby rozłączne - wbrew założeniu.

Skonstruujemy teraz rekurencyjnie nieskończony ciąg \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots \in \mathcal{X}}\) zbiorów rozłącznych. Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i załóżmy, że zbudowane są rozłączne zbiory \(\displaystyle{ X_i \in \mathcal{X}}\) dla \(\displaystyle{ i < n}\). Na mocy początkowej obserwacji istnieje zbiór \(\displaystyle{ X_n \in \mathcal{X}}\) (a nawet nieskończenie wiele takich zbiorów) rozłączny z \(\displaystyle{ \bigcup_{i<n} X_i}\), co kończy konstrukcję indukcyjną i dowodzi tezy zadania.

Dasio11 pisze: 23 paź 2024, o 15:25 (Rodzinę zbiorów nazwiemy antyłańcuchem, jeśli \(\displaystyle{ \red{każde}}\) jej \(\displaystyle{ \red{dwa}}\) elementy są rozłączne. )

No na pewno nie każde dwa, a, co najwyżej, każde dwa różne, gdyż niepusty zbiór sam ze sobą ( ) nie jest rozłączny.

I znów Jakubie głupoty wypisujesz - już to kiedyś wyjaśnialiśmy, ale najwyraźniej nie zrozumiałeś. Skoro masz dwa elementy jakiegokolwiek zbioru, to one z definicji są różne, bo są dwa. Podstawową własnością elementów jakiegokolwiek zbioru jest ich rozróżnialność.

Jan Kraszewski pisze: 23 paź 2024, o 20:38 Skoro masz dwa elementy jakiegokolwiek zbioru, to one z definicji są różne, bo są dwa.

W tym przypadku takie podejście jest wygodne, ale za to jak Pan wypowie sytuację, gdy weźmiemy dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) danego zbioru w znaczeniu formalnym (tzn. dopuszczając możliwość aby byłoby \(\displaystyle{ a=b}\)) ?? Dwa elementy niekoniecznie różne Jak dla mnie to jest to jeszcze bardziej niewygodne (ale co kto woli).
(Mnie uczono, że biorąc dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) nie wykluczamy możliwości, gdy: \(\displaystyle{ a=b.}\) I mój Pan Profesor od topologii (a także ćwiczeniowiec w innej sytuacji) dbali o to- Pan Profesor od topologii, formułując aksjomat oddzielania pisał: "Każde dwa różne elementy \(\displaystyle{ x,y\in X}\) mają rozłączne otoczenia"... Więc ja wolę o to dbać...).

A skoro ten wątek wplatany jest dość intensywnie w różne inne wątki to należy utworzyć jeden w do niego przenieść te dyskusję: tytuł może być:

Kot Schrödingera, zbiory, multizbiory, rozróżnialność.

Jakub Gurak pisze: 24 paź 2024, o 13:36

Jan Kraszewski pisze: 23 paź 2024, o 20:38 Skoro masz dwa elementy jakiegokolwiek zbioru, to one z definicji są różne, bo są dwa.

W tym przypadku takie podejście jest wygodne, ale za to jak Pan wypowie sytuację, gdy weźmiemy dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) danego zbioru w znaczeniu formalnym (tzn. dopuszczając możliwość aby byłoby \(\displaystyle{ a=b}\)) ?? Dwa elementy niekoniecznie różne Jak dla mnie to jest to jeszcze bardziej niewygodne (ale co kto woli).
(Mnie uczono, że biorąc dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) nie wykluczamy możliwości, gdy: \(\displaystyle{ a=b.}\) I mój Pan Profesor od topologii (a także ćwiczeniowiec w innej sytuacji) dbali o to- Pan Profesor od topologii, formułując aksjomat oddzielania pisał: "Każde dwa różne elementy \(\displaystyle{ x,y\in X}\) mają rozłączne otoczenia"... Więc ja wolę o to dbać...).

Wyraźnie nie odróżniasz pewnych rzeczy.

Dasio11 wyraźnie i jednoznacznie napisał:

Dasio11 pisze: 23 paź 2024, o 15:25Rodzinę zbiorów nazwiemy antyłańcuchem, jeśli każde jej dwa elementy są rozłączne.

Wtedy Ty bezpodstawnie przyczepiłeś się, że powinien napisać, że dwa różne - to nieprawda, bo tu nie ma czegoś, co Ty nazywasz "dwa elementy w znaczeniu formalnym" (nawiasem mówiąc, w ogóle nie ma czegoś takiego, najwyraźniej mylisz to z zapisem symbolicznym - wtedy istotnie trzeba symbolicznie dodać informację, że \(\displaystyle{ a\ne b}\), ale nie dlatego, że to jest inna sytuacja, ale dlatego, że zapis \(\displaystyle{ \forall a,b\in X}\) nie zawiera informacji, że elementy są dwa. Słowny opis Dasia tę informację zawiera, więc dodawanie, że są to elementy różne jest zupełnie zbędna).

arek1357 pisze: 24 paź 2024, o 08:53

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Multizbi%C3%B3r

To zupełnie inna bajka.

mol_ksiazkowy pisze: 24 paź 2024, o 17:17 A skoro ten wątek wplatany jest dość intensywnie w różne inne wątki to należy utworzyć jeden w do niego przenieść te dyskusję: tytuł może być:

Kot Schrödingera, zbiory, multizbiory, rozróżnialność.

Nie jest wplatany, tylko Jakub od czasu do czasu halucynuje. Nie ma sensu wydzielać.

JK

Dasio11 pisze: 23 paź 2024, o 15:25Rodzinę zbiorów nazwiemy antyłańcuchem, jeśli każde jej dwa elementy są rozłączne.

A jeśli w tej rodzinie jest tylko jeden zbiór ?

Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
Jest wplatany i powstaje off topic

6.1 Posty Powinny dotyczyć tematu. Off-topic nie może przekroczyć trzech wiadomości.

off topic (ang) nie na temat (dosł. poza tematem)

mol_ksiazkowy pisze: 25 paź 2024, o 09:43

Dasio11 pisze: 23 paź 2024, o 15:25Rodzinę zbiorów nazwiemy antyłańcuchem, jeśli każde jej dwa elementy są rozłączne.

A jeśli w tej rodzinie jest tylko jeden zbiór ?

To wtedy może się czuć trochę samotny, ale tak się zdarza - nie rozumiem o co jest pytanie?

tj. czy rodzina jednozbiorowa jest antyłańcuchem (w sensie powyższej definicji)?

Tak, wtedy warunek jest pusto spełniony bo w rodzinie nie ma dwóch (różnych) elementów. Ewentualne wątpliwości tego typu zawsze można rozstrzygnąć odwołując się do zapisu symbolicznego:

\(\displaystyle{ (\forall X, Y \in \mathcal{X}) \big( X \neq Y \implies X \cap Y = \varnothing \big)}\),

gdzie już czarno na białym widać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ X, Y \in \mathcal{X}}\) poprzednik implikacji jest nieprawdziwy, więc cały warunek jest spełniony. Z podobnych przyczyn rodzina pusta jest również antyłańcuchem.

Jan Kraszewski pisze: 23 paź 2024, o 20:38 tu nie ma czegoś, co Ty nazywasz "dwa elementy w znaczeniu formalnym" (nawiasem mówiąc, w ogóle nie ma czegoś takiego...)

Nie zgadzam się -podobno wszystko, co da się formalnie zapisać, da się też przeczytać, a więc nie ma formalizmów nie mających pojęciowego sensu...(Nawet Pan, Panie Janie Kraszewski, pisał, że wszystkie te znaczki formalne również coś znaczą...) I mogę podać przynajmniej jeden przykład
sytuacji rozważenia dwóch elementów w znaczeniu formalnym:
W jaki sposób Pan uporządkowałby dowolny niepusty zbiór?? A ja potrafię: porządkiem identycznościowym. Gdyby rozpatrywać tutaj tylko różne elementy tego zbioru, to byłby to porządek pusty (Który de facto nie jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\), bo nie jest zwrotny, na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\)...) A tak: każdy element jest mniejszy od pewnego innego elementu tego zbioru: od siebie samego, na mocy zwrotności porządku.
Poza tym, dopuszczenie aby dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) były równe pozwala właśnie uprościć definicję antyłańcucha w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right). }\)
Zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) nazywamy antyłańcuchem, gdy dla dowolnych dwóch elementów \(\displaystyle{ a,b \in A,}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a \le b \Rightarrow a=b.}\)
Wtedy dowolne dwa różne elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) są nieporównywalne, bo jeśli \(\displaystyle{ a \le b, }\) to, na mocy tej implikacji: \(\displaystyle{ a=b}\)- sprzeczność; a jeśli \(\displaystyle{ b \le a,}\) to, na mocy tej implikacji: \(\displaystyle{ b=a}\) -sprzeczność.

mol_ksiazkowy pisze: 25 paź 2024, o 11:25 tj. czy rodzina jednozbiorowa jest antyłańcuchem (w sensie powyższej definicji)?

Można też podejść do tego sprawdzając czy dla dowonych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \in \mathcal{X}}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\} \Rightarrow A=B. }\)
Ten warunek mówi, że jeśli dwa zbiory rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) przecinają się to muszą być równe, a więc każde dwa różne zbiory tej rodziny nie mogą się przecinać, są więc rozłączne.
A w przypadku rodziny postaci: \(\displaystyle{ \left\{ C\right\}, }\) gdzie \(\displaystyle{ C \subset X;}\) ten warunek jest spełniony, bo jeśli \(\displaystyle{ A,B \in \left\{ C\right\}, }\) to niewątpliwie: \(\displaystyle{ A=B.}\) A zatem następnik tej implikacji jest prawdziwy, więc cała implikacja również.
(Gdyby wprost mówiono tutaj o zbiorze dwuelementowym, to nie robiłbym tutaj tej kwestii, ale tu chodziło o jednoznaczność definicji (gdzie tu od razu teoria mocy zbiorów ), a definicja powinna być ścisła, poprawna i jednoznaczna (i zgodna z intuicyjnym sensem danego pojęcia) -mógłby Pan tu, Panie Janie, uczciwie przyznać, że brakowało tu, jak dla mnie, słowa różne, a nie robić kwestii ze spraw językowych skoro nie było to dla mnie jednoznaczne... Bo ja jak widzę wybujałą matematykę, a jednocześnie widząc usterki w samych podstawach, to za głowę się chwytam i zgrzytam zębami... )

Jakub Gurak pisze: 25 paź 2024, o 14:54

Jan Kraszewski pisze: 23 paź 2024, o 20:38 tu nie ma czegoś, co Ty nazywasz "dwa elementy w znaczeniu formalnym" (nawiasem mówiąc, w ogóle nie ma czegoś takiego...)

Nie zgadzam się -podobno wszystko, co da się formalnie zapisać, da się też przeczytać, a więc nie ma formalizmów nie mających pojęciowego sensu...(Nawet Pan, Panie Janie Kraszewski, pisał, że wszystkie te znaczki formalne również coś znaczą...)

No i co z tego? Ty nie rozumiesz, co oznacza wyrażenie "dwa elementy", bo Ci się znaczki włączają.

Jakub Gurak pisze: 25 paź 2024, o 14:54 I mogę podać przynajmniej jeden przykład sytuacji rozważenia dwóch elementów w znaczeniu formalnym:
W jaki sposób Pan uporządkowałby dowolny niepusty zbiór?? A ja potrafię: porządkiem identycznościowym. Gdyby rozpatrywać tutaj tylko różne elementy tego zbioru, to byłby to porządek pusty (Który de facto nie jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\), bo nie jest zwrotny, na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\)...) A tak: każdy element jest mniejszy od pewnego innego elementu tego zbioru: od siebie samego, na mocy zwrotności porządku.

Nie mam pojęcia, na co to ma być przykład.

Jakub Gurak pisze: 25 paź 2024, o 14:54 Poza tym, dopuszczenie aby dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in A}\) były równe pozwala właśnie uprościć definicję antyłańcucha w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right).}\)

Masz dziwną definicję pojęcia "uprościć". Bo jak dla mnie to nic nie upraszczasz, tylko komplikujesz rzeczy, które są proste.

Jakub Gurak pisze: 25 paź 2024, o 14:54(Gdyby wprost mówiono tutaj o zbiorze dwuelementowym, to nie robiłbym tutaj tej kwestii, ale tu chodziło o jednoznaczność definicji (gdzie tu od razu teoria mocy zbiorów ), a definicja powinna być ścisła, poprawna i jednoznaczna (i zgodna z intuicyjnym sensem danego pojęcia) -mógłby Pan tu, Panie Janie, uczciwie przyznać, że brakowało tu, jak dla mnie, słowa różne, a nie robić kwestii ze spraw językowych skoro nie było to dla mnie jednoznaczne...

Uczciwie Ci przyznam, że niczego nie brakowało. Natomiast słusznie zaznaczyłeś, że "brakowało jak dla Ciebie". To, że dla Ciebie coś nie było jednoznaczne świadczy w tym wypadku o Tobie, a nie o definicji, którą podał Dasio11.

Jakub Gurak pisze: 25 paź 2024, o 14:54Bo ja jak widzę wybujałą matematykę, a jednocześnie widząc usterki w samych podstawach, to za głowę się chwytam i zgrzytam zębami... )

Usterki widzisz zazwyczaj tylko Ty, co świadczy o Twoim sposobie patrzenia na matematykę. A jest to dla mnie sposób, który jest zazwyczaj przykładem, jak nie należy patrzeć na matematykę (mógłbym powiedzieć swoim studentom - pamiętajcie, nigdy tak nie róbcie...). Jakiś czas temu przekonałem się już, że próby wytłumaczenia Ci pewnych rzeczy są z góry skazane na niepowodzenie. I dopóki uprawiasz swoją matematykę na swoje potrzeby, to mnie to nie rusza, mogę tego po prostu nie czytać. Natomiast jak uderzasz w ton proroczy, wygłaszasz ex cathedra androny na temat czystości matematyki i pouczasz osoby dużo od Ciebie mądrzejsze (nie mam na myśli siebie), to czasami już nie zdzierżę.

JK