Dowolnie duże

[Samouk1]

Podczas myślenia nad rozwiązaniem zadania z tego forum, zacytuję jego treść:

Udowodnić, że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) są dowolnie duże sekwencje kolejnych wyrazów liczb złożonych.

zacząłem mieć wątpliwości co do wyrażenie "dowolnie duże" - domyślam się, że należy wykazać, że po prostu długość tych sekwencji jest nieograniczona. Jednak powiedzmy, że wykazałbym, że nie ma sekwencji o długości \(\displaystyle{ 2}\) (są krótsze lub dłuższe), to czy formalnie wykonałbym zadanie?

[Dasio11]

Nie, bo w matematyce standardową interpretacją takiego zdania jest

"Istnieją dowolnie duże liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) istnieje sekwencja długości \(\displaystyle{ k}\) składająca się z liczb złożonych"

lub jeszcze ściślej

"Dla każdego \(\displaystyle{ k_0 \in \mathbb{N}}\) istnieją \(\displaystyle{ k \ge k_0}\) i \(\displaystyle{ n_0 \in \mathbb{N}}\), takie że liczby \(\displaystyle{ n_0^2 + 1, \ldots, (n_0+k-1)^2+1}\) są złożone".

Po pierwsze więc nie jest wymagane, by istniały takie sekwencje dla każdej długości, a jedynie dowolnie długie, więc przykładowo wystarczyłoby, by każda potęga trójki była długością pewnej takiej sekwencji. Po drugie zaś, sekwencje nie muszą być maksymalne - zatem i tak z istnienia dowolnie długich sekwencji wynika istnienie sekwencji każdej długości. Przykładowo z istnienia sekwencji długości pięć wynika istnienie sekwencji (niemaksymalnej) długości dwa, bo wystarczy odrzucić ostatnie trzy wyrazy.

[Samouk1]

Dziękuję. Przepraszam jeśli to głupie pytanie.

[Dasio11]

Nie jest głupie - język matematyczny jest precyzyjny i jednoznaczny, ale tylko wtedy, gdy interpretuje się go zgodnie z regułami przyjętymi w matematyce. Tych reguł typowo naucza się na pierwszym roku studiów lub w porządnych liceach, czasem można też poznać je z podręczników. Jednak jest to w zasadzie podzbiór języka polskiego, co rodzi naturalną pokusę, by interpretować go zgodnie z regułami nie matematyki, lecz języka potocznego - a wtedy bywa, że tej jednoznaczności trudno się w nim doszukać.

[a4karo]

Pytanie wcale nie było głupie, natomiast sformułowanie zadania stwarza wątpliwości. Nie byłoby ich gdyby w zadania pytano o "dowolnie długie" sekwencje. Natomiast "dowolnie duża" może byc interpretowane jako sekwencja dwóch liczb o baaardzo dużych wartościach.

[mol_ksiazkowy]

sekwencja := układ jakichś elementów, w którym następują one w określonej kolejności /sjp /

[a4karo]

Czy sekwencja `200,400` jest większa niż `1,2,3`

[Jan Kraszewski]

sformułowanie zadania stwarza wątpliwości. Nie byłoby ich gdyby w zadania pytano o "dowolnie długie" sekwencje.

To była moja pierwsza myśl, jak zobaczyłem to zadanie...

JK

[mol_ksiazkowy]

Wątpliwości są zwykle dobre: inicjują myślenie...

[Jan Kraszewski]

Słabe usprawiedliwienie...

JK

[mol_ksiazkowy]

"Istnieją dowolnie duże liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) istnieje sekwencja długości \(\displaystyle{ k}\) składająca się z liczb złożonych"

I jest pytanie:

Jak liczby pierwsze i złożone są rozmieszczone w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1 }\) ? *

Natomiast "dowolnie duża" może byc interpretowane jako sekwencja dwóch liczb o baaardzo dużych wartościach.

oczywiście, ze "dowolnie długie" było znacznie "lepsiejsze".

Jeśli np. \(\displaystyle{ n= 20k+1}\), to \(\displaystyle{ n+1 \ \equiv 2 \ (mod \ 5)}\), tj. liczba \(\displaystyle{ (n+1)^2+1}\) jest złożona.


* Hipoteza \(\displaystyle{ n^2+1 }\) jest chyba wciąż hipotezą....

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1 }\)

Ukryta treść:    

https://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 21 sekundach:

Ukryta treść:    

Istnieje też hipoteza
Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie taką liczbą całkowita, że \(\displaystyle{ - k}\) nie jest pełnym kwadratem, to istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ m}\), t. że \(\displaystyle{ m^2+k}\) jest pierwsza.

P. Ribenboim - Mała księga wielkich liczb pierwszych
z szerszym przedstawieniem tematu
hipotezy Buniakowskiego , Schinzla i Sierpińskiego, Hady'ego-Littlewooda, McCurleya itd.

Dodano po 1 godzinie 29 minutach 46 sekundach:

Ukryta treść:    

Ciąg

primes in \(\displaystyle{ n^2+1 }\)

https://oeis.org/A002496
2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, 15877, 16901, 17957, 21317, 22501, 24337, 25601, 28901, 30977, 32401, 33857, 41617, 42437, 44101, 50177,...
ostatni wyraz tu przedstawiony (gdy \(\displaystyle{ n=224}\))