[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 15 lip 2011, o 20:23

Co prawda do finału OM daleko ;), ale właśnie znalazłem w papierach kartkę z zadaniami przedfinałowymi (L OM), więc myślę, że na sezon ogórkowy będzie jak znalazł.

Link do pierwszej serii
Link do drugiej serii
Link do trzeciej serii

(wszelkie literówki i proste pomyłki w treści zadań prosiłbym zgłaszać w prywatnych wiadomościach)

(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)


Zadanie 1 - rozwiązane przez ordyha
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_i,y_i}\) (\(\displaystyle{ i=1,2,\ldots , n}\)) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( \sum_{i=1}^{n}x_i \right)^2 +\left( \sum_{i=1}^{n}y_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)}\le \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^2+y_i^2}{x_i+y_i}}\).

Zadanie 2
W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AF}\). Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{CP}{AE}+\frac{CQ}{AF}=1}\), to \(\displaystyle{ \sphericalangle EAF = 45^o}\).

Zadanie 3 - rozwiązane przez ordyha
Dany jest trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=90^o}\). Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Prosta \(\displaystyle{ BI}\) przecina bok \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), zaś prosta \(\displaystyle{ CI}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{BI^2+ID^2}{CI^2+IE^2}=\frac{AB^2}{AC^2}}\).

Zadanie 4 - rozwiązane przez świstaka
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną oraz \(\displaystyle{ x+y=1}\), to:
\(\displaystyle{ x^{n+1}\cdot \sum_{k=0}^{n}{n+k \choose k} } y^k+y^{n+1}\cdot \sum_{k=0}^{n}{n+k \choose k} } x^k=1}\).

Zadanie 5 - rozwiązane przez Django
Niech \(\displaystyle{ P,P_1,P_2,P_3,P_4}\) będą różnymi punktami na danym okręgu. Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostej \(\displaystyle{ P_iP_k}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ d_{ik}}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ d_{12}\cdot d_{34}=d_{13}\cdot d_{24}}\).

Zadanie 6
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC>60^o}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), zaś \(\displaystyle{ P}\)- dowolnym punktem płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ AP+BP+CP\ge 2AM}\).

Zadanie 7 - rozwiązane przez marcina_smu i MadJacka
Każdej parze \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb rzeczywistych różnych od \(\displaystyle{ 0}\) przyporządkujmy taką liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a*b}\), że:
  • \(\displaystyle{ a*(b*c)=(a*b)\cdot c}\)
  • \(\displaystyle{ a*a=1}\)
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x*36=216}\).

Zadanie 8 (być może jest jakiś błąd w treści)
Mówimy, że wielomian \(\displaystyle{ f}\) o współczynnikach całkowitych jest podzielny przez liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba \(\displaystyle{ f(k)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ m}\) dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ k}\). Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1x+a_0}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ m}\), to liczba \(\displaystyle{ a_n\cdot n!}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ m}\).

Zadanie 9 - rozwiązane przez ordyha
Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) stopnia trzeciego o współczynnikach rzeczywistych ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Wyznacz liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu:
\(\displaystyle{ Q(x)=(P'(x))^2-2P(x)\cdot P''(x)}\).

Zadanie 10 - rozwiązane przez jgarnka
Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,a_2, \ldots ,a_n}\) i \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots ,b_n}\) przy czym \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots , a_n}\) są różne. Udowodnij, że jeżeli iloczyn \(\displaystyle{ (a_i+b_1)(a_i+b_2)\ldots (a_i+b_n)}\) ma dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots , n}\) stałą wartość, to iloczyn \(\displaystyle{ (a_1+b_j)(a_2+b_j)\ldots (a_n+b_j)}\) również ma stałą wartość dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots n}\).

Zadanie 11
Na boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obrano punkt \(\displaystyle{ D}\). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są środkami okręgów wpisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ACD}\). Udowodnij, że jeżeli punkty \(\displaystyle{ B,C,E,F}\) leżą na jednym okręgu, to \(\displaystyle{ \frac{AD+BD}{AD+CD}=\frac{AB}{AC}}\).

Zadanie 12 - rozwiązane przez ordyha
Niech \(\displaystyle{ d(n)}\) oznacza największy nieparzysty dzielnik liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\). Przyjmijmy: \(\displaystyle{ D(n)=d(1)+d(2)+\ldots +d(n)}\) oraz \(\displaystyle{ T(n)=1+2+\ldots +n}\). Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 3D(n)=2T(n)}\).

Zadanie 13 - rozwiązane przez świstaka, płaćcie respekt za redakcję! ;)
Wyznacz liczbę wszystkich permutacji \(\displaystyle{ (x_1,x_2, \ldots , x_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,\ldots ,n\}}\) dla których suma \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} |x_i-x_{i+1}|}\) jest: a) największa, b) najmniejsza. Przyjmujemy \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_1}\).

Zadanie 14 - rozwiązane przez Qnia
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_n= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2 \rfloor} (-1)^k {n-k \choose k}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że ciąg ten jest okresowy.

Zadanie 15
W przestrzeni dane są takie dwa pięciokąty foremne \(\displaystyle{ ABCDE}\) i \(\displaystyle{ AEKLP}\), że \(\displaystyle{ \sphericalangle DAK=60^o}\). Udowodnij, że płaszczyzny \(\displaystyle{ ACK}\) i \(\displaystyle{ BAL}\) są prostopadłe.

Zadanie 16 - rozwiązane przez Inkwizytora
Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}}\) jest określona następująco:
\(\displaystyle{ f(n)=\begin{cases} n-12 \ \textrm{ dla } \ n>2000\\ f(f(n+16)) \ \textrm{ dla } \ n \le 2000\end{cases}}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ f(n)}\) oraz wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ f(n)=n}\).

Zadanie 17 - rozwiązane przez timona92
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) odcinki \(\displaystyle{ AA_1, BB_1,CC_1,DD_1}\) są średnicami sfery opisanej na nim, zaś punkty \(\displaystyle{ A_0, B_0, C_0,D_0}\) są środkami ciężkości odpowiednio ścian \(\displaystyle{ BCD,CDA,DAB,ABC}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ A_0A_1,B_0B_1,C_0C_1,D_0D_1}\) przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 18 - rozwiązane przez ordyha
Dana jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ a\ge 1}\). Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=a, x_{n+1}=1+\ln \left( \frac{x_n^2}{1+\ln x_n}\right) , n=1,2,3,\ldots}\)
Wykaż, że istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}x_n}\) i oblicz ją.

Zadanie 19 - rozwiązane przez ordyha, Marcinka665 i Qnia
Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi. Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_0=a,a_1=b,a_2=2b-a+2, a_{n+3}=3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n}, n\ge 3}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ a_n}\).

Zadanie 20 - rozwiązane przez ordyha
Dana jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ a}\). Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=a, x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3)}{3x_n^2+1}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n}\) i oblicz ją.

Zadanie 21 - rozwiązane przez ordyha
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 2}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{n}{n-k}\cdot \frac{1}{2^{k-1}}<4}\).

Zadanie 22 - rozwiązane przez ordyha i Lorka
Udowodnij, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ x^2-x}\) jest całkowita oraz dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 3}\) liczba \(\displaystyle{ x^n-x}\) jest całkowita, to \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą.

Powodzenia!

Q.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Swistak » 15 lip 2011, o 20:41

zad. 4:    

Awatar użytkownika
jgarnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: jgarnek » 15 lip 2011, o 21:23

zad. 10:    

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 15 lip 2011, o 22:04

zad. 19.:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Swistak » 15 lip 2011, o 22:10

Jeż Teodor zjadający dżdżownice, czyli zad. 13:    
Ostatnio zmieniony 15 lip 2011, o 23:07 przez Swistak, łącznie zmieniany 1 raz.

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: marcin_smu » 15 lip 2011, o 22:18

zad. 7:    

MadJack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 35 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: MadJack » 15 lip 2011, o 22:38

Zadanie 7.
Ukryta treść:    
Ojć, trochę się spóźniłem, ale wrzucam.
Ostatnio zmieniony 15 lip 2011, o 22:55 przez MadJack, łącznie zmieniany 1 raz.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 15 lip 2011, o 22:47

zad. 20.:    
zad. 21.:    
Ostatnio zmieniony 16 lip 2011, o 00:24 przez ordyh, łącznie zmieniany 4 razy.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 16 lip 2011, o 00:14

zad. 1.:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 16 lip 2011, o 00:41

A całą geometrię to rozumiem, że panowie dla timona92 zostawiacie? :)

Q.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Marcinek665 » 16 lip 2011, o 02:07

19. bez użycia 6 zmysłu ;p
Ukryta treść:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 16 lip 2011, o 02:26

To dla fanów Matematyki konkretnej (w tym niżej podpisanego) to samo zadanie z użyciem metody repertuaru:
Zadanie 19:    
Q.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 16 lip 2011, o 15:30

zad. 22.:    

abc666

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: abc666 » 16 lip 2011, o 16:51

Pytanko do 8:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 16 lip 2011, o 20:18

W zadaniu ósmym zrobiłem literówkę (powinno być \(\displaystyle{ a_0}\)), ale Twoje pytanie chyba nie traci na aktualności. Strzelam, że w definicji podzielności wielomianu współczynniki powinny być wymierne, a nie całkowite i wtedy zadanie nie jest trywialne.

Q.

ODPOWIEDZ