[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

[Qń]

Pierwsza seria cieszyła się w ubiegłym sezonie jako takim zainteresowaniem, wrzucam więc kolejną porcję zadań. Jeśli i tym razem będzie zainteresowanie, to postaram się przed drugim etapem wrzucić jeszcze jedną serię.

Link do pierwszej serii
Link do trzeciej serii
Link do serii przedfinałowej

(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)

Zadanie 1 - rozwiązane przez KPR
Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y,z,a,b,c}\), że:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=b^2,z^2+x^2=c^2}\)
Udowodnij, że iloczyn \(\displaystyle{ xyz}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 55}\).

Zadanie 2 - rozwiązane przez Qnia
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) oraz każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |\cos x|+|\cos 2x| +|\cos 2^2x| + \ldots +|\cos 2^nx |\ge \frac{n}{2\sqrt{2}}}\)

Zadanie 3 - rozwiązane przez timona92
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) ściany \(\displaystyle{ ABD,ACD,BCD,BCA}\) mają pola odpowiednio \(\displaystyle{ S_1,S_2,Q_1,Q_2}\), kąty dwuścienne ścian \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ACD}\) oraz \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ BCA}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ S_1^2+S_2^2-2S_1S_2\cos\alpha =Q_1^2+Q_2^2-2Q_1Q_2\cos \beta}\)

Zadanie 4 - rozwiązane przez kaszubki i binaja
Udowodnij, że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots +2^na_n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_k\in\{-1,0,1\}}\) oraz \(\displaystyle{ a_k\cdot a_{k+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ 0\le k\le n-1}\)

Zadanie 5 - rozwiązane przez timona92
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |AB|<|BC|}\). Na bokach tych na zewnątrz trójkąta zbudowano kwadraty \(\displaystyle{ ABDE}\) i \(\displaystyle{ BCFG}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\), zaś \(\displaystyle{ S\neq N}\) - punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ BN}\) i \(\displaystyle{ GM}\). Udowodnij, że jeżeli punkty \(\displaystyle{ M,C,S,N}\) leżą na jednym okręgu, to \(\displaystyle{ |MD|=|MG|}\)
Uwaga: w treści była literówka, na co zwrócił uwagę tometomek91, a potwierdzili timon92 i KPR

Zadanie 6 - rozwiązane przez kaszubki
W sześciokącie foremnym \(\displaystyle{ ABCDE F}\) o środku \(\displaystyle{ O}\) punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami boków \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ DE}\), zaś \(\displaystyle{ L}\) jest punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AM}\) i \(\displaystyle{ BN}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 1^o}\) pole trójkąta \(\displaystyle{ ABL}\) równe jest polu czworokąta \(\displaystyle{ DMLN}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\) \(\displaystyle{ \sphericalangle ALO= \sphericalangle OLN=60^o, \sphericalangle OLD = 90^o}\)

Zadanie 7 - rozwiązane przez KPR
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a^ab^bc^c \ge a ^bb^cc^a}\)

Zadanie 8 - rozwiązane przez Vaxa i Qnia
Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\). Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ || \ldots |||x-1|-2|-3|- \ldots -(n-1)|-n|=0}\)

Zadanie 9 - rozwiązane przez timona92
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanym w sferę o środku \(\displaystyle{ O}\) krawędzie \(\displaystyle{ AB,AC,AD}\) są równe. Niech \(\displaystyle{ G,E,F}\) będą odpowiednio: środkiem ciężkości ściany \(\displaystyle{ ACD}\), środkiem odcinka \(\displaystyle{ BG}\) i środkiem odcinka \(\displaystyle{ AE}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ OF \perp BG \Leftrightarrow OD \perp AC}\)

Zadanie 10 - rozwiązane przez KPR
Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obrano taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że okręgi wpisane w trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABP}\) są styczne do boku \(\displaystyle{ AB}\) w tym samym punkcie. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów z pozostałymi bokami leżą na jednym okręgu.

Zadanie 11 - rozwiązane przez Vaxa
Wyznacz wszystkie ciągi liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_0,x_1,x_2,\ldots , x_{2n}}\) spełniające układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1^2+x_2^2+\ldots +x_{2n}^2=2(x_1x_{2n} +x_2x_{2n-1}+\ldots +x_nx_{n+1}) \\
x_0^2+\ldots +x_{n-1}^2+ x_{n+1}^2\ldots +x_{2n}^2=2(x_0x_{2n} +x_1x_{2n-1}+\ldots +x_{n-1}x_{n+1})\end{cases}}\)

Zadanie 12 - rozwiązane przez KPR
Wewnątrz równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym kąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ CDA}\) są rozwarte, obrano taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że kąt \(\displaystyle{ ADP}\) równy jest kątowi \(\displaystyle{ ABP}\). Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ |AP|\cdot |PC| +|DP|\cdot |PB|}\) nie zależy od wyboru punktu \(\displaystyle{ P}\)

Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92
Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg. Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ R}\), zaś proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) - w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ ARC}\) i \(\displaystyle{ ASC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Udowodnij, że punkty \(\displaystyle{ P,Q,T}\) leżą na jednej prostej.
Uwaga: w treści była literówka, na co zwrócił uwagę timon92 (dzięki)

Zadanie 14 - rozwiązane przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ x,y,z}\) będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że następujące warunki są równoważne:
(i) \(\displaystyle{ x>0,y>0,z>0}\) i \(\displaystyle{ \frac 1x + \frac 1y +\frac 1z \le 1}\)
(ii) dla dowolnego czworokąta o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a^2x+b^2y+c^2z>d^2}\)

Zadanie 15 - rozwiązane przez timona92
W pięciokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCDE}\) punkty \(\displaystyle{ M,N,P,Q,R}\) są środkami odpowiednio boków \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DE,EA}\). Udowodnij, że jeżeli odcinki \(\displaystyle{ AP,BQ,CR,DM}\) mają punkt wspólny, to punkt ten należy do odcinka \(\displaystyle{ EN}\).

Zadanie 16 - rozwiązane przez Dumla
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y,z}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |x|+|y|+|z|+|x+y+z|\ge |x+y|+|y+z|+|z+x|}\)

Zadanie 17 - rozwiązane przez Vaxa
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^3-y^2=z^2-x\\
y^3-z^2=x^2-y\\
z^3-x^2=y^2-z\end{cases}}\)

Zadanie 18 - rozwiązane przez KPR
Wewnątrz trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) o boku \(\displaystyle{ 1}\) obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \frac 34 < |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2<2}\)

Zadanie 19 - rozwiązane przez timona92
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ 27(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \ge 64(a+b+c)^3abc}\)

Zadanie 20 - rozwiązane przez kubka1
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+2x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in [0,1)}\)

Zadanie 21 - rozwiązane przez KPR
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+2^x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(x)=2^x+\sin (2\pi x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in [0,1)}\)

Zadanie 22 - rozwiązane przez kubka1
Hiperbola o równaniu \(\displaystyle{ xy=1}\) przecina okrąg w czterech punktach \(\displaystyle{ T_i=(p_i,q_i)}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ p_1p_2p_3p_4=1}\)

Zadanie 23 - rozwiązane przez kaszubki
Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) liczb naturalnych parami względnie pierwszych, dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\) jest całkowita.

Zadanie 24 - rozwiązane przez KPR
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano w okrąg. Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) - w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Z punktu \(\displaystyle{ Q}\) poprowadzono styczne do danego okręgu. Niech \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\) będą punktami styczności. Udowodnij, że \(\displaystyle{ P,R,S}\) leżą na jednej prostej.

Powodzenia!

Q.

[kubek1]

Zad.22

Ukryta treść:    

Punkty przecięcia \(\displaystyle{ p_i}\) spełniają układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=1 \\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{cases}}\)
Wstawiając do drugiego równania \(\displaystyle{ y=1/x}\)(oczywiście y i x są liczbami różnymi od zera, więc \(\displaystyle{ p_i \neq 0}\)), mamy:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+( \frac{1}{x}-b)^2=r^2}\)
Skąd po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę i pomnożeniu przez \(\displaystyle{ x^2}\) uzyskamy:
\(\displaystyle{ x^4-2ax^3+(a^2+b^2-r^2)x^2-2bx+1=0}\)
Korzystając ze wzorów Viete'a, uzyskujemy:
\(\displaystyle{ p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}=1}\)

Zad.20

Ukryta treść:    

Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną większą od 0. Przez prostą indukcję dowodzimy, że:
\(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)+2nx+n(n-1)}\)
Stąd możemy wywnioskować, że:
\(\displaystyle{ f(x)=f(x-n)+2n(x-n)+n(n-1)}\)
Niech m będzie liczbą całkowitą taką, że:
\(\displaystyle{ [x]=m}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ f(x-m)=f(\{x\})=\{x\}^2}\)
A więc:
\(\displaystyle{ f(x)=\{x\}^2+2[x]\{x\}+[x]^2-[x]=([x]+\{x\})^2-[x]=x^2-[x]}\)

[KPR]

Zad 7.

Ukryta treść:    

Logarytmujemy obustronnie i mamy
\(\displaystyle{ a\ln a+b\ln b+c\ln c \ge b\ln a+c\ln b+a\ln c}\),
a to wynika z jednomonotoniczności ciągów \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) i \(\displaystyle{ (\ln a,\ln b,\ln c)}\).

-- 5 sty 2011, o 14:03 --

21:

Ukryta treść:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sin 2\pi (x+1)=\sin 2\pi x}\). Zatem możemy udowodnić przez indukcję (w dwie strony, dla \(\displaystyle{ [x]}\) dodatniego i dla \(\displaystyle{ [x]}\) ujemnego), że \(\displaystyle{ f(x)=2^x +\sin( 2\pi x)}\).

[Qń]

Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną większą od 0. Przez prostą indukcję dowodzimy, że:
\(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)+2nx+n(n-1)}\)

Wstawiasz później w miejsce \(\displaystyle{ n}\) dowolną liczbę całkowitą \(\displaystyle{ m}\), więc powyższy wzór też powinien być wykazany dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\). Na szczęście przypadek liczb ujemnych również można skwitować stwierdzeniem "prosta indukcja" .

No i na końcu koniecznie trzeba napisać chociaż: łatwo sprawdzić, że ta funkcja spełnia podane warunki, jest ona więc jedynym rozwiązaniem.

Pozwoliłem sobie też poprawić nawiasy - \(\displaystyle{ \{x\}}\) trzeba zapisać jako "{x}", inaczej klamry się nie wyświetlą.

Q.

[KPR]

12:

Ukryta treść:    

Przesuńmy punkt P o wektor \(\displaystyle{ \vec{CD}}\), otrzymując punkt P'. Ponieważ PP'||AB i PP'=AB, to ABPP' jest równoległobokiem, skąd \(\displaystyle{ \angle PP'A=\angle ABP=\angle ADP}\). Zatem punkty A, P, D, P' leżą na jednym okręgu, więc z Ptolemeusza \(\displaystyle{ AP\cdot P'D+AP'\cdot DP=PP'\cdot AD=AB \cdot AD}\), a ponieważ ABPP' i DCPP' są równoległobokami, to P'D=PC i P'A=PB, więc \(\displaystyle{ AP\cdot PC+BP\cdot DP=AB \cdot AD}\), c.k.d.

[Qń]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sin 2\pi (x+1)=-\sin 2\pi x}\)

Jesteś pewien?

Q.

[KPR]

Rzeczywiście, zapomniałem o tej dwójce.

[Dumel]

zad. 16.

Ukryta treść:    

jest to nierówność Popoviciu dla wypukłej funkcji \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\)

[Qń]

Zatem możemy udowodnić przez indukcję (w dwie strony, dla \(\displaystyle{ [x]}\) dodatniego i dla \(\displaystyle{ [x]}\) nieujemnego), że \(\displaystyle{ f(x)=2^x([x]+1) +\sin( 2\pi x)}\).

Myślę, że takiego wzoru udowodnić nam się nie uda.

Q.

[KPR]

Zad 24:

Ukryta treść:    

Wykonajmy rzutowanie tak, aby obrazem prostej PQ była prosta w nieskończoności. Jeśli obrazem okręgu jest elipsa, to przekształcamy ją afinicznie do okręgu. Wtedy A'B'||C'D' i B'C'||A'D', gdzie A', B', C', D' są obrazami odpowiednio punktów A, B, C, D w tym rzutowaniu (i ewentualnie po przekształceniu afinicznym), bo przekształcenie afiniczne zachowuje równoległość. Zatem A'B'C'D' jest prostokątem, bo jest równoległobokiem wpisanym w okrąg. Zatem obrazami punktów R i S są punkty styczności prostych równoległych do AD i BC z okręgiem. Są one środkami łuków BC i AD. Z "symetrii rysunku" wynika zatem, że ich obrazy punkty te leżą na prostej równoległej do AB, czyli zawierającej punkt P. Ponieważ rzutowanie i przekształcenie afiniczne przekształcają proste na proste, to dowód został zakończony.

Qń, czemu nie?

[timon92]

19.

Ukryta treść:    

to też jest Popoviciu ale tym razem dla funkcji \(\displaystyle{ -\ln x}\) (po wcześniejszycm zlogarytmowaniu oczywiście)

[Qń]

Qń, czemu nie?

Warunki zadania narzucają nam na przykład \(\displaystyle{ f(2)=4}\), a Twój wzór daje \(\displaystyle{ f(2)=12}\).

Co do 16 i 19 - ok, Popoviciu brzmi tyleż poprawnie co groźnie . A nie dałoby się obu jakoś elementarniej (bez piętrowych rachunków)?

Q.

[KPR]

Poprawiłem, wydaje mi się, że teraz jest dobrze.

[timon92]

19. inaczej

Ukryta treść:    

wymnożyć na pałę

albo podstawić \(\displaystyle{ x=\frac{a+b}{2}, y=\frac{b+c}{2}, z=\frac{c+a}{2}}\), wówczas istnieje trójkąt o bokach x,y,z. Korzystając ze wzorów \(\displaystyle{ S=\frac{xyz}{4R}=\frac{1}{4}\sqrt{(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}}\) oraz \(\displaystyle{ a=2R \sin \alpha}\) itd można dojść do równoważnej postaci \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta+ \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}}\), a to jest Jensen dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ \sin x}\)

[Dumel]

zad. 4.

Ukryta treść:    

algorytm:
niech \(\displaystyle{ n=2^k+b \cdot 2^{k-1}+ r}\) (r to dalsza część rozwinięcia dwójkowego)
jeśli b=0 niech \(\displaystyle{ a_{k+1}=0 \ \ a_k=1 \ \ a_{k-1}=0}\) i kontynuujemy procedurę z liczbą \(\displaystyle{ n-2^k}\)
jeśli b=1 niech \(\displaystyle{ a_{k+1}=1 \ \ a_k=0}\) i kontynuujemy z liczbą \(\displaystyle{ n-2^{k+1}}\)