Matematyka.pl

czy istnieje prostokąt, którego długości boków, długość przekątnej, połowa pola, i połowa obwodu tworzą ciąg arytmetyczny...? I to samo pytanie dla ciągu geometrycznego.

Między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się liczba:
\(\displaystyle{ \sqrt{55+ 5\sqrt{55+5\sqrt{5}}}}\)

no własnie, przy \(\displaystyle{ x=t^{2}}\), sprowadza się problem do rozkłądu wielomianu:
\(\displaystyle{ t^{5} + t^{2}-1}\)
mozesz bawić sie, np:
\(\displaystyle{ t^{5} + t^{2}-1 = (t^{3} + at^{2}+bt +1)( t^{2}+ct -1)}\)

tyz prawda! ale w takim x, to nie jest to o co mi chodziło.....dajmy np.
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\)

ok, ale nie ma błedu , wydaje się mi że o ile sie nie pomyliłem to wielomian jest dobry:
\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1}\)
Troszkę trudniej z ad2....

ad1) Znależć wielomian możliwie najnizszego stopnia, o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

ad2*) \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

To będzie natychmiast wynikać z tożsamosci:
\(\displaystyle{ x^{3} +y^{3} +z^{3} - 3xyz=(x+y+z)(x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy -xz -yz)}\)
ciekawi mnie też:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}}\)

tak, no własnie, można dojść bodaj do tego, że:
\(\displaystyle{ x^{3} +y^{3} +z^{3}=1+3xyz}\)

W trójkącie ABC poprowadzono środkową BK oraz wysokość CL. Wiadomo, że BK=CL oraz miary kątów KBC i LCB są równe. Oblicz miarę kąta A w tym trójkącie.

ok, a może dałoby się choć:
\(\displaystyle{ x^{3} +y^{3} +z^{3}}\)

No własnie...coś w tym stylu

aha, ok, spoko, popróbuje...ale czy wyjdzie wzór w formie:?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} F_{k}^{3}= f(F_{n}, F_{n+1}, F_{n+2}, ...)}\)

no własnie, to się raczej narzuca....przy liczeniu pochodnej bedzie wielomian drugiego stopnia, wiec powinno być ok

Chodzi o "zwinięcie sumy", gdzie \(\displaystyle{ F_{n}}\) to ciąg Fibonacciego...1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} F_{k}^{3}}\)

Ps. Wiadomo, ze:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} F_{k}^{2}= F_{n} F_{n+1}}\)

hmmm, no tak masz rację, tylko ze z tw Cevy jakby nic "nie widać", czemu sie przetną w jednym punkcie, i to jest taka mała wada....