Suma kwadratów

[mol_ksiazkowy]

Należy obliczyć sumę kwadratów trzech liczb x,y, z, jeśli wiadomo, że:
\(\displaystyle{ x + y + z=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} =0}\)

[Tristan]

Zadanie to wielokrotnie pojawiało się na forum. Drugie równanie wymnóż przez xyz, a otrzymasz \(\displaystyle{ xy+yz+zx=0}\). Pierwsze równanie podnieś do kwadratu i masz \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1}\), a podstawiając z wsześniejszego równania otrzymujesz odpowiedź, że \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\).

[mol_ksiazkowy]

ok, a czy mozna, w sytuacji tego zadania rzecz jasna obliczyc:
\(\displaystyle{ x^{4} +y^{4} +z^{4}}\)

[Tristan]

Nie, ponieważ mamy za mało danych. Można co najwyżej dojść do tego, że \(\displaystyle{ x^4+y^4+z^4=4xyz+1}\) .

[mol_ksiazkowy]

ok, a może dałoby się choć:
\(\displaystyle{ x^{3} +y^{3} +z^{3}}\)

[Tristan]

Można dojść do tego, że \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=1-xy(x+y)-yz(y+z)-xz(x+z)}\) i raczej żadnej konkretnej liczby się z tego nie zrobi, bo jest za mało danych.

[mol_ksiazkowy]

tak, no własnie, można dojść bodaj do tego, że:
\(\displaystyle{ x^{3} +y^{3} +z^{3}=1+3xyz}\)

[Tristan]

Ciekawi mnie, jak do tego doszedłeś...

[mol_ksiazkowy]

To będzie natychmiast wynikać z tożsamosci:
\(\displaystyle{ x^{3} +y^{3} +z^{3} - 3xyz=(x+y+z)(x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy -xz -yz)}\)
ciekawi mnie też:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}}\)

[Tristan]

Tak, masz rację. A co do ostatniego pytania, to będzie tak: \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{-2}{xyz}}\)