Matematyka.pl

y''=-y
y''+y=0
y'=u(y)
y''=\frac{du}{dy} \cdot u(y)
\frac{du}{dy}u+y=0
\int udu= -\int y dy
\frac{u^{2}}{2}= -\frac{y^{2}}{2}+C /*2
u^{2}= -y^{2}+C_{1}
(\frac{dy}{dx})^{2}=-y^{2}+C_{1}
\frac{dy}{dx}= +- \sqrt{y+C_{1}}

chyba coś nie tak w moich obliczeniach, bo w odp. y=Csin(x+C ...

a jak to można scałkować?

\(\displaystyle{ y''= \frac{1}{1+x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ p'=\frac{1}{1+x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \int dp= \int \frac{dx}{1+x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ p=\arctan x+C}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\arctan x+C}\)
\(\displaystyle{ y= \int \arctan x dx+ \int C dx}\)

czy do tej pory jest ok? pomóżcie mi to scałkwoać... \(\displaystyle{ y= \int \arctan x dx}\)

\(\displaystyle{ y''=1-y'^{2}}\)
\(\displaystyle{ y'=p(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dx}=1-p^{2}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dp}{1-p^{2}}= \int dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln |\frac{1+p}{1-p}|=x+C}\)

i tu się zgubiłem. Mam wyznaczyć y, ale tu mam kłopot, bo \(\displaystyle{ p=\frac{dy}{dx}}\) a nie wiem jak wydobyć to...
HELP

Jak obliczyć:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}}}\) ?

Jak obliczyć
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1-x^{2}}dx}\)