równanie typu f(y,y',y'')

[br70]

\(\displaystyle{ y''=-y}\)
\(\displaystyle{ y''+y=0}\)
\(\displaystyle{ y'=u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''=\frac{du}{dy} \cdot u(y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dy}u+y=0}\)
\(\displaystyle{ \int udu= -\int y dy}\)
\(\displaystyle{ \frac{u^{2}}{2}= -\frac{y^{2}}{2}+C}\) /*2
\(\displaystyle{ u^{2}= -y^{2}+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{dy}{dx})^{2}=-y^{2}+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= +- \sqrt{y+C_{1}}}\)

chyba coś nie tak w moich obliczeniach, bo w odp. \(\displaystyle{ y=Csin(x+C_{1})}\)
co jest źle?

[miodzio1988]

3 i 4 linijka mi się nie podobają.

Turtaj wystarczy równanie charakterystyczne ułożyć

[luka52]

Można to jeszcze uratować, o ile ostatnią linijkę zapisze się poprawnie i założy coś o stałej. Wtedy (pomijając \(\displaystyle{ \pm}\)):

\(\displaystyle{ $\begin{align*} \frac{\dd \left( \frac{y}{C_1} \right) }{\sqrt{ 1- \left( \frac{y}{C_1} \right)^2}} &= \dd x \\
\arcsin \frac{y}{C_1} & = x + C_2 \\
y &= C_1 \sin (x+C_2)
\end{align*}$}\)