Matematyka.pl

W tamtym roku oceny były widoczne przed II etapem.

po przekształceniach mamy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x}}}}}}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } (\sqrt{x} - \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}) = -\frac{1}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

infty

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - cos x}}{x}}\) chyba granica nie istnieje tylko nie wiem jak się dowodzi formalnie, że nie istnieje.

To ja się pochwalę moimi IMO dość oryginalnymi rozwiązaniami

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, punkt M jest środkiem odcinka AC. Wykazać, że \(\displaystyle{ \angle AMB = \angle AMD}\) wtedy i tylko wtedy, gdy BD jest symedianą w trójkącie ABC.

Proste AB i AC są styczne do okręgu o odpowiednio w punktach B i C, prosta przechodząca przez punkt A przecina okrąg o w punktach D i E. Proste styczne do okręgu o w punktach D i E przecinają się w punkcie F. Wykazać że punkty B, C i F są współliniowe.

Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w pewien czworokąt. Wykazać, że punkt S jest współliniowy ze środkami przekątnych tego czworokąta.

Dany jest równoległobok ABCD. Punkt S należy do boku CD, punkty K i L należą odpowiednio do boków AD i BC, a \(\displaystyle{ AK = CL}\). Proste AS i BS przecinają prostą KL w punktach odpowiednio M i N . Wykazać, że suma pól trójkątów AKM i BLN jest równa polu trójkąta MNS.

Punkt M jest środkiem boku AB czworokąta wypukłego ABCD. Pole trójkąta MCD jest dwa razy mniejsze od pola czworokąta ABCD. Wykazać, że \(\displaystyle{ AD \left| \right| BC}\).

Dany jest równoległobok ABCD. Punkty K i L są środkami boków CD i DA. Proste BK i BL przecinają przekątną AC odpowiednio w punktach M i N . Wykazać, że suma pól trójkątów ALN , BMN i CKM jest równa pola \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) równoległoboku ABCD.

Punkt S należy do wnętrza trójkąta ABC i \(\displaystyle{ P_{ABS}=P_{BCS}=P_{CAS}}\). Wykazać, że punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC.

prosta k jest wyznaczona przez punkty przecięcia okręgów \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\)

wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3^x - 3^{-x}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}}\) ale nie wiem jak to rozwiązać.
Edit: rzeczywiście powinna być 2 w mianowniku