Środek okręgu wpisanego w czworokąt

[platynamen]

Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w pewien czworokąt. Wykazać, że punkt S jest współliniowy ze środkami przekątnych tego czworokąta.

[mol_ksiazkowy]

Ukryta treść:    

to Twierdzenie Newtona; możliwy jest taki dowód:

Lemat
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem wypukłym, którego przeciwległe boki nie są równoległe; zaś \(\displaystyle{ k>0}\) będzie ustalone. Zbiorem (miejscem geometrycznym) punktów \(\displaystyle{ M}\), będących wewnątrz tego czworokąta i takich, że \(\displaystyle{ P(ABM) + P(CDM)=k}\) jest odcinek
;gdzie \(\displaystyle{ P(XYZ)}\) oznacza pole trójkąta \(\displaystyle{ XYZ}\)

Dowód
Niech \(\displaystyle{ prosta(AB) \cap prosta(CD) = S}\) i niech \(\displaystyle{ AB= SX}\), \(\displaystyle{ SY= CD}\). tj.
\(\displaystyle{ P(ABM)+P(CDM) = P(SXYM) = P(SXY)+ P(XYM)}\). Punkty \(\displaystyle{ X, Y}\) są ustalone stąd teza.
Szukanym miejscem geometrycznym jest prosta równoległa do \(\displaystyle{ XY}\)

Dowód twierdzenia
W \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg: \(\displaystyle{ AB+ CD = AD+BC}\); mnożąc przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2} r}\) :
\(\displaystyle{ P(OAB)+ P(OCD) = P(OAD)+P(OBC)= \frac{1}{2} P(ABCD)}\)
oraz
\(\displaystyle{ P(NAB)+ P(NCD)= \frac{1}{2} P(ABD)+ \frac{1}{2} P(BCD)= \frac{1}{2} P(ABCD)}\)
i tak samo z \(\displaystyle{ M}\). Z lematu wynika teza.

O ile np. \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe (trapez) to wtedy punkty \(\displaystyle{ N. O, M}\) są na prostej \(\displaystyle{ l}\) równoległej do podstaw trapezu.