Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ k) \ \wedge \ ac \equiv x \ (mod \ k) \ \Rightarrow \ bc \equiv x \ (mod \ k)}\)

Czy można przeprowadzić powyższe rozumowanie? A jeśli nie, to dlaczego?

Należy obliczyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^{n}}{n!}x^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ k>1}\).

Typ zadania jest następujący:
Ile jest drzew na zbiorze wierzchołków {1...n} takich, że stopień wierzchołka 2 wynosi 3, a stopień wierzchołka 3 wynosi 4?

Nie wiem czy dobrze myślę, ale zrobiłbym to tak:
Rozpatrujemy kod Prufera. Na 3-1=2 miejscach wstawiamy 2. Na innych 4-1=3 miejscach wstawiamy 3 ...

Podstaw sobie np. x~y=a. Wtedy dostaniesz (x~y)~z=a~z=a+z-1 i teraz pod a podstaw na nowo a=x~y=x+y-1.
Może w ten sposób łatwiej zrozumiesz jak do działa .

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ (x ^{2} +2x+5)^{2} }=\int_{}^{} \frac{dx}{ ((x+1) ^{2} +4)^{2} }=
\int_{}^{} \frac{dx}{ 2((\frac{x+1}{2}) ^{2} +1)^{2} }}\)
Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{x+1}{2}}\), a następnie wykorzystanie wzoru rekurencyjnego na wyrażenia postaci \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(1+x^{2})^{n}}}\).

Obliczyć całki nieoznaczone:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^{3}+x^{6}}}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{3x^{4}-2x^{2}-1}}}\)

Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f na zbiorze A, jeżeli
\(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}+y^{2}-2xy}\) oraz \(\displaystyle{ A=\{(x,y):x^{2} \leq y \leq 4\}}\)

Policzyłem już co trzeba wewnątrz zbioru, ale nie wiem za bardzo jak to zrobić na brzegu.

Obliczyć granice iterowane \lim_{x\to x_{0}}[\lim_{y\to y_{0}}f(x,y)]
i \lim_{y\to y_{0}}[\lim_{x\to x_{0}}f(x,y)] .
Przy czym:
(x_{0},y_{0})=(0,2)
f(x,y)=\frac{2|x|+3|y-2|}{|x|+|y-2|} .
Problem mam z tym, że wychodzą mi dwie różne, więc pewnie coś robię źle. Prosiłbym o w miarę dokładne ...

Znaleźć punkt symetryczny do punktu P(1,1,0) względem płaszczyzny o równaniu x+2y-z=0.

Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a.

\(\displaystyle{ \begin{cases} ax_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=1\\x_{1}+ax_{2} +x_{3}+...+x_{n}=1\\.\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+ax_{n}=1 \end{cases}}\)

1. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V=\{(x-y, 3y, 2y-x, 2x) : x,y \in R \} . Znaleźć bazę tej przestrzeni, w której wszystkie współrzędne wektora (1,3,0,4) są równe 4.

2. Sprawdzić, czy podane przekształcenie jest przekształceniem liniowym:
\varphi : C[x] \to C, f \mapsto f(j)
gdzie C[x] to ...

Prawdziwa jest następująca nierówność:
\forall \alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})- \{0\} \ 1-|\alpha| < \frac{sin \alpha}{\alpha} < 1+|\alpha|
Stąd:
-|\alpha|<\frac{sin \alpha}{\alpha} - 1 < |\alpha| => |\frac{sin \alpha}{\alpha} - 1|<|\alpha|
Zatem jeżeli tylko \alpha < \epsilon to ...

1. \(\displaystyle{ \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta = \frac{3 - 5 \epsilon}{\epsilon} \in R \ \forall n> \delta \ |x_{n}-0|<\epsilon}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{3}{n+5}}\)

1. Wyznaczyć granice (korzystając z definicji i podstawowych operacji na granicach):
a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{arcsinx}{x}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[4]{1+xsinx}-1}{2^{x^{2}}-1}}\)

2. Wyznaczyć dziedzinę i okres podstawowy (jeśli istnieje) funkcji f(x)=|tgx+ctgx|.

1.Różnicą symetryczną dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór A \div B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A) . Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą równości:
a) A \div (B \div C) = (A \div B ) \div C
b) A \cap (B \div C) = (A \cap B) \div (A \cap C)

2. Niech A=\lbrace\o, \lbrace\o ...