Matematyka.pl

@mortan to wiele więc wyjaśnia, myślałem że w granicy wielu zmiennych można zbiegać w nieskończoności. Dzięki wielkie!

@Premislav, chyba niczego nie zgubiłem:D Krok po kroku :

\lim_{(r,\varphi) \to (0,0)} \frac{r^2(cos^2\varphi+sin^2\varphi)}{r^4cos^2\varphi sin^2\varphi} =\lim_{(r,\varphi) \to ...

Ok to przeszedłem na biegunowe i doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{(r,\varphi) \to (0,dowolne) } \frac{1}{r^2cos^2\varphi sin^2\varphi}}\)

No i teraz mianownik dąży do \(\displaystyle{ 0^+}\) więc granica zbiega \(\displaystyle{ + \infty}\). Wiem, że coś jest nie tak z tym myśleniem, ale nie wiem co:D

Witam,

Rozwiązałem taką granicę:

\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{sin(x^2+y^2)}{x^2y^2}

Wykorzystałem fakt, że \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{sin(x^2+y^2)}{x^2 + y^2} = 1

I dostałem do policzenie jeszcze granicę :

\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}

Tutaj wychodzi mi, że granica ...

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) zostało wyciągnięte przed całkę.

Po rozbiciu:

\(\displaystyle{ -2\dint{}{t}-2 \int \frac{-4 \dd t}{t+4} =-2\dint{}{t}+8\int \frac{\dd t}{t+4}}\)

Przecież to elementarna całka już, np.

\(\displaystyle{ -2\dint{ \frac{t+4-4}{t+4}}{t}= -2\dint{1}{t}+8 \int \frac{\dd t}{t+4}=-2t+8\ln |t+4|+C= \\ =-2\cos x+8\ln |\cos x+4|+C}\)

Objętość nieskończona, bo nie podałeś dla jakiego przedziału ma być objętość liczona.

Jeśli nie zrobiłeś jakiegoś błędu to metoda wydaje się być prawidłowa, policz pochodną ze swojego wyniku i zobaczysz czy otrzymasz funkcję podcałkową.

Co do drugiego to przemnóż \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{-x^2+x+1}}{\sqrt{-x^2+x+1}}}\), potem rozwiąż metodą współczynników nieoznaczonych.

Podstawiam \(\displaystyle{ \ t = \cos x \ \Rightarrow \ \ddt = -\sin x \dd x}\)

\(\displaystyle{ -2\int \frac{t \dd t}{4+t}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t \ = \ 2^x}\) i otrzymujesz :

\(\displaystyle{ \ln 2 \int \frac{\dd t}{ \sqrt{1-t^{2}} }}\)

A to już chyba wiadomo jak rozwiązać.