Granica funkcji dwóch zmiennych z sinusem

[Sugaku]

Witam,

Rozwiązałem taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{sin(x^2+y^2)}{x^2y^2}}\)

Wykorzystałem fakt, że \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{sin(x^2+y^2)}{x^2 + y^2} = 1}\)

I dostałem do policzenie jeszcze granicę :

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}\)

Tutaj wychodzi mi, że granica zbiega do \(\displaystyle{ +\infty}\), czyli cała wejściowa granica zbiega do tej granicy, wolfram jednak podaje, że granica nie istnieje i mam wątpliwości, bo wiem że wolfram lubi się mylić przy granicach wielu zmiennych i nie wiem czy tym razem też tak jest, a potrzebuje znać odpowiedź. Dziękuję z góry za pomoc

[mortan517]

Granica nie istnieje, możesz przejść na biegunowe i wtedy widać.

[Sugaku]

Ok to przeszedłem na biegunowe i doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{(r,\varphi) \to (0,dowolne) } \frac{1}{r^2cos^2\varphi sin^2\varphi}}\)

No i teraz mianownik dąży do \(\displaystyle{ 0^+}\) więc granica zbiega \(\displaystyle{ + \infty}\). Wiem, że coś jest nie tak z tym myśleniem, ale nie wiem co:D

[mortan517]

To, że w przypadku funkcji dwóch zmiennych nic nie zbiega do nieskończoności. Zbliżając się z innych stron otrzymujemy różne wyniki i w efekcie granica nie istnieje.

[Premislav]

Hola, hola, a gdzie Ci zniknął \(\displaystyle{ \sin r^{2}}\) z licznika? Powinno być \(\displaystyle{ \frac{\sin r^{2}}{r^{2}\cos^{2}\phi \sin ^{2}\phi}}\)
no i teraz łatwo widac, że limes nie istnieje, wystarczy sobie wziąć dwie wartości phi, dla których to będzie się inaczej zachowywać, no bo \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}=1}\)

[Sugaku]

@mortan to wiele więc wyjaśnia, myślałem że w granicy wielu zmiennych można zbiegać w nieskończoności. Dzięki wielkie!

@Premislav, chyba niczego nie zgubiłem:D Krok po kroku :

\(\displaystyle{ \lim_{(r,\varphi) \to (0,0)} \frac{r^2(cos^2\varphi+sin^2\varphi)}{r^4cos^2\varphi sin^2\varphi} =\lim_{(r,\varphi) \to (0,0)} \frac{1 trygonometryczna}{r^2cos^2\varphi sin^2\varphi}}\)

Coś źle?

[Premislav]

Przekształcenia są poprawne, to akurat ja nie umiem liczyć. Przepraszam.