Matematyka.pl

W jaki sposób uzasadnić, że nie istnieje krzywa \(\displaystyle{ \gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb{R^2}}\) klasy \(\displaystyle{ C^1}\) wypełniająca koło jednostkowe?

1. Przez punkty A=(-4,-1) i B=(4,5) poprowadź taki okrąg, żeby jego punkty przecięcia z okręgiem (x+3)^2+y^2=9 leżały na prostej przechodzącej przez punkt M=(-3,0) .

Środek tego okręgu S=(x,y) jest równo odległy od punktów A i B, więc powstaje taki warunek:
\sqrt{(x+4)^2 + (y+1)^2} = \sqrt{(x-4)^2 ...

No właśnie uciekł minus przy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). A więc będzie to \(\displaystyle{ \sqrt{700}}\)

Mam pytanie dotyczące tego dowodu. Wiem, że występuje spora analogia do przypadku dowodu iloczynu ciągów zbieżnych. Ale mam mały kłopot przy szacowaniu. Mianowicie dochodzę do tego momentu:

... \le \left| f(x)\right| \left| g(x)-g(x_{0})\right| + \left| g(x_{0}) \right| \left| f(x) - f(x_{0 ...

Faktycznie nie takie skomplikowane na jakie wygląda. Dzięki

Potrzebuje wskazówki jak zabrać się za udowodnienie takiej nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{tg(x)}{tg(y)} < \frac{x}{y} \ \ \mbox{dla} \ \ 0<x<y< \frac{\pi}{2}}\)

Wzór na sume ciagu geometrycznego jest słuszny tylko wtedy, gdy iloraz jest stały. U ciebie to tak średnio...

Ale pomysł masz dobry. Wskazówka: szukana suma to 1+x(1+2x+3x^2+\dots)

Faktycznie nieco popłynąłem w rozważaniach. Dzięki za wskazówkę

Niech s_{n}=\ 1 + x + 2x^2 + ... + nx^n ...

Mam kłopot z pewnym zadankiem. Mianowicie, mam wyznaczyć wzór na poniższą sumę:

a) \ 1 + x + 2x^2 + ... + nx^n

No to siup. Fajnie byłoby gdyby ta suma była pochodną jakiejś innej sumy. Więc robię sobie sumę:

1+x+ \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + ... + \frac{n}{n+1} x^{n+1}

Liczę ...

Kolego, jak chcesz tak liczyć to musisz odpowiednio to zapisać:
\frac{3n ^{3}+n }{2n ^{2}+1 }= \frac{n ^{3}(3+ \frac{1}{n ^{2} }) }{n ^{2} (2+ \frac{1}{n ^{2} } )} = \frac{n(3+ \frac{1}{n ^{2} }) }{ (2+ \frac{1}{n ^{2} } )} \xrightarrow{n \to \infty} \infty , bo stopień wykładnika w liczniku jest ...

Dziękuję za pomoc.

Dziękuję za odpowiedzi

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości dodatnie dla \(\displaystyle{ x \in(- \infty , 0) \cup (2, + \infty )}\). Więc to będzie pierwsza klasa abstrakcji tak?

Czyli muszę jeszcze dopisać formułkę, że

dobieram \(\displaystyle{ y \ge 2}\) i \(\displaystyle{ z \ge y}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna (ściślej rosnąca) na przedziale \(\displaystyle{ [2, + infty )}\), więc zachodzi \(\displaystyle{ f(y) \le f(z)}\)

? Czy jakoś inaczej to sprawdzić?

Funkcja f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dana jest wzorem f(x)=(x-1)^2 -1

Definiujemy relację równoważności \sim na zbiorze \mathbb{R} wzorem:
x \sim y \Leftrightarrow \left( f(x)>0 \Leftrightarrow f(y)>0 \right) .

Wyznaczyć wszystkie klasy abstrakcji relacji \sim .

No i tu mam problem ...

Funkcja f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dana jest wzorem:
f(x)=x^2-4x .

Czy prawdą jest, że:

\exists x \left( \forall y,z \right) \left( x \le y \le z \Rightarrow f(y) \le f(z) \right)


Moim zdaniem jest ono prawdą, bo np. dla x=2 dobieramy y=3 i z=4 i mamy, że pierwszy człon implikacji ...