Potrzebuje wskazówki jak zabrać się za udowodnienie takiej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{tg(x)}{tg(y)} < \frac{x}{y} \ \ \mbox{dla} \ \ 0<x<y< \frac{\pi}{2}}\)
Nierówność z ilorazem tangensów
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Nierówność z ilorazem tangensów
Wszystkie shity są dodatnie w tym przedziale, więc możesz przekształcić równoważnie do
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{x} < \frac{\tg y}{y}}\), a następnie po prostu pokazać (np. licząc pochodną), że w przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac \pi 2 \right)}\) odpowiednia funkcja (jaka?) jest rosnąca.-- 2 cze 2016, o 20:35 --Gdy przeliczysz pochodną, to jeszcze po przekształceniach przyda się nierówność \(\displaystyle{ \sin t \le t}\)
- dla pierwszej ćwiartki można ją bardzo ładnie wykazać geometrycznie, korzystając z koła trygonometrycznego (definicje f. trygonometrycznych w kartezjańskim układzie współrzędnych).
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{x} < \frac{\tg y}{y}}\), a następnie po prostu pokazać (np. licząc pochodną), że w przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac \pi 2 \right)}\) odpowiednia funkcja (jaka?) jest rosnąca.-- 2 cze 2016, o 20:35 --Gdy przeliczysz pochodną, to jeszcze po przekształceniach przyda się nierówność \(\displaystyle{ \sin t \le t}\)
- dla pierwszej ćwiartki można ją bardzo ładnie wykazać geometrycznie, korzystając z koła trygonometrycznego (definicje f. trygonometrycznych w kartezjańskim układzie współrzędnych).