Suma ciągu geometrycznego - pochodna

[Andrea]

Mam kłopot z pewnym zadankiem. Mianowicie, mam wyznaczyć wzór na poniższą sumę:

\(\displaystyle{ a) \ 1 + x + 2x^2 + ... + nx^n}\)

No to siup. Fajnie byłoby gdyby ta suma była pochodną jakiejś innej sumy. Więc robię sobie sumę:

\(\displaystyle{ 1+x+ \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + ... + \frac{n}{n+1} x^{n+1}}\)

Liczę iloraz. Wyszło tyle:

\(\displaystyle{ q=\frac{n^2}{n^2-1} x}\)

Układam teraz równanie ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ 1+x+ \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + ... + \frac{n}{n+1} x^{n+1} = \frac{ 1-(\frac{xn^2}{n^2-1})^n }{ 1-(\frac{xn^2}{n^2-1}) }}\)

Teraz różniczkuję obie strony:

\(\displaystyle{ S_{n+1}(x) = \mathrm{tu \ pochodna \ drugiej \ strony}}\)

No i stąd już będę mieć ten wzorek. Tylko właśnie strasznie tragicznie to wygląda. A liczenie pochodnej z tego też do najprzyjemniejszych rzeczy nie należy. Czy tu jest jakiś haczyk, którego nie widzę, czy to po prostu trzeba mechanicznie policzyć?

[a4karo]

Wzór na sume ciagu geometrycznego jest słuszny tylko wtedy, gdy iloraz jest stały. U ciebie to tak średnio...

Ale pomysł masz dobry. Wskazówka: szukana suma to \(\displaystyle{ 1+x(1+2x+3x^2+\dots)}\)

[Milczek]

Niech \(\displaystyle{ s_{n}=\ 1 + x + 2x^2 + ... + nx^n}\).

Oblicz \(\displaystyle{ S_{n}-xS_{n}=....}\)
i Wyciągnij \(\displaystyle{ S_{n}}\) przed nawias.

[Andrea]

Wzór na sume ciagu geometrycznego jest słuszny tylko wtedy, gdy iloraz jest stały. U ciebie to tak średnio...

Ale pomysł masz dobry. Wskazówka: szukana suma to \(\displaystyle{ 1+x(1+2x+3x^2+\dots)}\)

Faktycznie nieco popłynąłem w rozważaniach. Dzięki za wskazówkę

Niech \(\displaystyle{ s_{n}=\ 1 + x + 2x^2 + ... + nx^n}\).

Oblicz \(\displaystyle{ S_{n}-xS_{n}=....}\)
i Wyciągnij \(\displaystyle{ S_{n}}\) przed nawias.

Dziękuję