Matematyka.pl

Nie chodzi o wyznaczenie punktów przecięcia.
Sporządź wykresy obu funkcji i wtedy zobaczysz ile jest punktów przecięcia
Pozdrawiam

Zapisz sobie równanie prostej :
\begin{cases} x=t\\y=9+13t\\z=4+9t\end{cases}
w postaci kierunkowej:
\frac{x}{1} = \frac{y-9}{13}= \frac{z-4}{9} =t
Widać, że wektorem równoległym do danej prostej jest wektor: [1,13,9].
Ponieważ proste mają być równoległe, więc wektor ten jest równoległy do ...

\sin t+\cos t > 0 \\
\frac{1}{ \sqrt{2}} \sin t }+ \frac{1}{ \sqrt{2}} \cos t >0 \\
\sin t \cos \frac{\pi}{4}+\cos t \sin \frac{\pi}{4} >0 \\
\sin \left( t+ \frac{ \pi }{4} \right) >0
Stąd:
0 + 2k \pi < \frac{ \pi }{4}+t< \pi +2k \pi \\
- \frac{ \pi }{4}+2k \pi <t< \frac{3}{4} \pi +2k \pi ...

Zadanie1.
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n} }{ n+ 1}
Wyłączyłbym w liczniku i w mianowniku najwyższą potęgę zmiennej w mianowniku, czyli n.
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n } }{ n+ 1} = \
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n^3( \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} }) }{n(1+ \frac ...

Przepraszam, rzeczywiście nie przeczytałem uważnie przykładu "na kolizję oznaczeń".
Zapis literek mógł sugerować pomyłkę. Poza tym ten przykład nie bardzo ma związek z zadanie.
Co do mojego rozwiązania to jest ono poprawne.
Żeby to pokazać rozwiązałem sposobem proponowanym przez szw1710.
Macierz ...

Proponuję przejść na podstawę 2:
\log _{2}3 \cdot \log _{3}4 \cdot \log _{4}5 \cdot \log _{5}6 \cdot \log _{6}7 \cdot \log _{7}8=log_2{3} \cdot \frac{2}{log_2{3}}\cdot \frac{log_2{5}}{2} \cdot \frac{log_2{6}}{log_2{5}}\cdot \frac{log_2{7}}{log_2{6}}\cdot \frac{3}{log_2{7}} =3
Odpowiedź B ...

Zadanie 1.
\alpha = \sin \left( 2\arccos \frac{1}{4} \right)
Oznacz sobie: \beta =\arccos \frac{1}{4}
Oczywiście z definicji funkcji arccos(x) i jej dziedziny : \beta \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)
Czyli \cos \left( \beta \right) = \frac{1}{4}
Nasze wyrażenie przyjmuje postać:
\alpha ...

Moim zdaniem nie ma tu żadnej kolizji. Wszystko jedno, czy wektor przestrzeni oznaczymy przez (a,b,c) czy też (x_1,x_2,x_3) . Jest to tylko kwestia kosmetyczna. W podanym rozwiązaniu uniknąłem wyznaczania macierzy odwrotnej, co samo w sobie jest uciążliwe.
Podane przez szw1710 w przykładzie pochodne ...

Macierz otrzymano poprawnie.
Wykonałbym jeszcze operację W1-W2
Otrzymasz:
\begin{bmatrix} 1&0&-4&4 \left| 1\\0&1&3&-3 \left| 0\\0&0&0&0 \left|0\end{bmatrix}
Skreślamy ostatni wiersz i widać, że rząd macierzy i rząd macierzy rozszerzonej wynosi 2.
Z równości tych rzędów wynika, że istnieją ...

Nie trzeba wykazywać liniowości odwzorowania (choć jest ono liniowe) i można obyć się bez macierzy.
Do wykazania bijektywności odwzorowania należy nwykazać jego suriektywność i iniektywność.
Najpierw suriektywność.
Należy wykazać, że:
\forall(x,y,z) \in R^3 \exists (a,b,c) \in R^3 : f(a,b,c)=(x,y ...

Ale przecież z definicji funkcji moc zbioru wartości jest mniejsza lub równa mocy dziedziny.
Nie może być od niej większa , gdyż przeczy to definicji funkcji. Każdemu argumentowi przyporządkowana jest dokładnie jedna wartość funkcji więc wartości jest co najwyżej tyle ile argumentów.

Nie robiłbym tego indukcyjnie. Raczej skorzystałbym z dowodu nie wprost.
Niech zbiór X będzie zbiorem n-elementowym i f jest suriekcją.
Załóżmy, że f nie jest iniekcją. To znaczy, że istnieją takie
x_1 ,x_2 \in X x_1 \neq x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2))
Wykorzystaliśmy już dwa argumenty i jedną wartość ...

\left(-\frac{1}{2n+1}\cos \left(2n+1\right)t \cdot f(t)\right)
Obliczmy najpierw wartość tego wurażenia dla t= \frac{ \pi }{2}
\left(-\frac{1}{2n+1}\cos \left(2n+1\right) \frac{ \pi }{2} \cdot f( \frac{ \pi }{2} )\right)
Dla nieparzystej liczby dziewięćdziesiątek kosinus przyjmuje wartość zero ...

zdaje się, że tak do końca nie rozumiesz o co chodzi.
Narysuj sobie kosinusoidę w przedziale \left( \frac{ \pi }{3}, \frac{ \pi }{2} \right)
Funkcja przyjmuje tam wartości większe od zera i mniejsze od 1/2.
Dla każdej liczby z przedziału \left( 0, \frac{1}{2} \right)
istnieje kąt z przedziału ...

Korzystasz ze wzorów redukcyjnych.
Ponieważ kosinus przechodzi na sinus a sinus na kosinus, więc we wzorze musi być nieparzysta liczba dziewięćdziesiątek.
W grę wchodzą kąty: 90- \alpha , 90+ \alpha ,270- \alpha ,270+ \alpha
\cos (90- \alpha )=\sin \alpha , \\ \sin (90- \alpha )=\cos \alpha ...