Problem z dwiema granicami.

[adi1337]

Witam, nie jestem pewien czy odpowiedni dział ale mam problem z dwiema granicami:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n} }{ n+ 1} \\
\lim_{x\to\infty} \frac{(-1)^n}{2+5n}}\)

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n} }{ n+ 1} = \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n} }{ n+ 1}}\)

A tak poważnie to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+ 1} \le \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n} }{ n+ 1} \le \frac{ \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{n^2}}{n+1}}\)
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach granicą jest zero.

[robertm19]

Do drugiej zastosuj \(\displaystyle{ a_n\rightarrow 0}\) wtw, gdy \(\displaystyle{ |a_n|\rightarrow 0}\).

[Marmat]

Zadanie1.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n} }{ n+ 1}}\)
Wyłączyłbym w liczniku i w mianowniku najwyższą potęgę zmiennej w mianowniku, czyli n.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n ^{2} + n } }{ n+ 1} = \
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n^3( \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} }) }{n(1+ \frac{1}{n} )}= \\
\lim_{n\to\infty} \frac{ n\sqrt[3]{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} } }{n(1+ \frac{1}{n} )}= \\
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} } }{(1+ \frac{1}{n} )}= \frac{0}{1}=0}\)
Zadanie2.
Zastosowałbym twierdzenie o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2+5n} \le \frac{(-1)^{n}}{2+5n} \le \frac{1}{2+5n}}\)
Skrajne ciągi dążą do zera, więc i środkowy też.
Pozdrawiam.

[adi1337]

mhm. dzięki wielkie, juz rozumiem. a w tym przypadku

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left[n\left( \frac{1}{ n^{2} + 1} + \frac{1}{ n^{2} + 2} + \frac{1}{ n^{2} + 3} + ... + \frac{1}{ n^{2} + n}\right) \right]}\)


ograniczyc od prawej w mianowniku \(\displaystyle{ n^{2}}\) a od lewej \(\displaystyle{ n^{2} + n}\) ?
bo wtedy wychodzi 0, a powinno 1.

[pyzol]

Ale wyrazów w sumie masz \(\displaystyle{ n}\), więc jedno z ograniczeń:
\(\displaystyle{ n\cdot \frac{n}{n^2}}\)

[adi1337]

dałbyś radę trochę jaśniej? bo nie mogę zrozumieć.:/

[pyzol]

\(\displaystyle{ n\left( \frac{1}{ n^{2} + 1} + \frac{1}{ n^{2} + 2} + \frac{1}{ n^{2} + 3} + ... + \frac{1}{ n^{2} + n}\right) \le
n\left( \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{2} } + ... + \frac{1}{ n^{2} }\right) =n\left( n \cdot \frac{1}{ n^{2} } \right)}\)