Matematyka.pl

Równanie wielomianowe zmiennej \(t=\tan\frac{x}{2}\).

Podstawiając \(x=t+1,\ y=u+1\) otrzymamy \(t^2+u^2-tu-1=0\), czyli \(u_1=\frac{t-\sqrt{4-3t^2}}{2}\) lub \(u_2=\frac{t+\sqrt{4-3t^2}}{2}\). To znaczy po pierwsze, że \(|t|\le\frac{2}{\sqrt{3}}\), a po drugie, że, wobec \(u_2-u_1\ge 0\), wystarczy zająć się zbadaniem \(u(t)=u_2\). Niech \(|t|<\frac{2 ...

\[\begin{aligned}\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\tan\frac{y}{2}\tan\frac{z}{2}+\tan\frac{z}{2}\tan\frac{x}{2}&=\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\left(\frac{\sin\frac{y}{2}}{\cos\frac{y}{2}}+\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\right)\tan\frac{z}{2}\\&=\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\frac{\sin\frac ...

Wystarczy dowieść, że dla dowolnego indeksu \(n\) mamy \(a_{n+1}>a_n\), tzn. że \[\frac{\sum\limits^{n+1}_{k=1}k^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}>\frac{\sum\limits^n_{k=1}k^n}{n^n}\] lub równoważnie\[\frac{1^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}+\frac{\sum\limits^{n}_{k=1}(k+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}>\frac{\sum\limits^n_{k=1}k^n}{n ...

Dane są liczby rzeczywiste \(A,B,C,D,a,b\), takie że \(a<b\). Rozważmy funkcję \(f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\) zmiennej rzeczywistej \(x\in [a,b]\). Niech ponadto \(f(a)\ge 0\) oraz \(f(b)\ge 0\).
Wykaż, że jednoczesna nieujemność wyrażeń \(3Aab^2+B(2a+b)b+C(a+2b)+3D\) oraz \(3Aa^2b+B(a+2b)a+C(2a+b)+3D ...

Niech \(\alpha=A,\ \beta=B,\ \gamma=C\). Rysujemy trójkąt \(ABC\), wpisujemy weń okrąg o środku \(I\) i promieniu \(r\). Wybierzmy bez straty ogólności wierzchołek \(A\). Przy standardowych oznaczeniach (bok \(a\) naprzeciwko wierzchołka \(A\) itd.) oznaczamy dodatkowo punkt styczności okręgu ...

Masz rację, źle odczytałam przedziały. Mol też miał rację. Nie masz racji, infimum będzie inne. Mój post był podpowiedzią, błędną, jak się okazuje, a nie odpowiedzią. Z tym, co przechodzi na studiach, a co nie, nie dyskutuję, bo ogólne sądy z pewnością wymagają więcej danych, niż w tej chwili ...

To musi w takim razie zależeć od przeglądarki. Na Firefox rzeczywiście jest ok, na Brave nie jest.

Co nie działa?
Działa "Wyświetl profil" oraz "Wyloguj", natomiast "Twoje konto" wyrzuca mnie na stronę główną.
Mogę wejść w panel mojego konta przez "Prywatne wiadomości", ale już stamtąd kliknięcie na dowolną zakładkę wyrzuca mnie znów na główną.
Ktoś jeszcze tak ma?

Tak, to konsekwencja nieujemności i wklęsłości sinusa w pierwszej ćwiartce. Z AM-GM i Jensena mamy \[\prod\limits_i\sin\frac{A_i}{2}\le\left(\frac{\sum\limits_i\sin\frac{A_i}{2}}{n}\right)^n\le\left(\sin\frac{\sum\limits_i\frac{A_i}{2}}{n}\right)^n=\left(\sin\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)^n.\]

Dodano ...

Nierówność trójkąta stanowi treść (s)twierdzenia nr 20 z pierwszej księgi Elementów Euklidesa. Hasło triangle inequality w angielskiej Wikipedii powinno odpowiedzieć na Twoje pytanie. Jeżeli chcesz źródeł, to możesz skorzystać z angielskiego przekładu: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements ...

mol_ksiazkowy pisze: 23 lis 2024, o 15:12 A nawet \(\displaystyle{ x+y >0 }\)

Musimy tu móc dostać zero, bo inaczej kres górny wyrażenia nie byłby osiągany, a przecież jest - dla \((x,y)=(-2,2)\).

\(\frac{5x+17y}{3x-7y}=-\frac{49}{5}+\frac{86(3y-2x)}{5(7y-3x)}=-\frac{6}{5}-\frac{43(y+x)}{5(7y-3x)}\)

\(7y-3x=7(y-2)+(x+2)+4(3-x)>0\)
\(3y-2x=3(y-2)+2(3-x)\ge 0\)
\(y+x=(y-2)+(x+2)\ge 0\)

Takie sobie te założenia. Jeżeli \(x,y\) są liczbami przeciwnymi, to lewa strona nie ma sensu, bo dzielimy przez zero w średniej harmonicznej. Jeżeli \(x,y\) mają różne znaki, to lewa strona ma zerową część urojoną, prawa zaś nie, ze względu na średnią geometryczną.
Dalej niech \(xy>0 ...

Pierwiastki są rzeczywiście rzeczywiste, można to sprawdzić biorąc np. \(x=-2,-1, 1, 2\). Mamy \(a+b+c=0,\ ab+bc+ca=-3,\ abc=1\). Zero nie jest rozwiązaniem danego równania, więc mamy \(c>0>a\) (reguła znaków Kartezjusza mówi, że wówczas także \(0>b\), ale to nie jest niezbędne). Łatwo sprawdzić ...