Znaleziono 1921 wyników

autor: bosa_Nike
18 paź 2020, o 16:05
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Znany mi sposób rozwiązania tego zadania może być też zastosowany do udowodnienia np. $$\frac{\sqrt{a}}{a^a}+\frac{\sqrt{b}}{b^b}+\frac{\sqrt{c}}{c^c}\le 3$$ dla a,b,c>0 spełniających abc=1 , przy czym dowód tej ostatniej nierówności jest "czystszy". Jeżeli to mogłoby pomóc także przy ewentualnych i...
autor: bosa_Nike
15 paź 2020, o 12:05
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Nierówność z sinusami
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 108

Re: Nierówność z sinusami

Zmieniam oznaczenia kątów na A,B,C . Obie strony do kwadratu, wszystko na lewo, AM-GM, C-S. $$\begin{aligned}&\kern-2em\frac{3}{4}-\sum\sin A\sin B+2\sum\sqrt{(1-\sin A\sin B)(1-\sin B\sin C)}\\&\ge\frac{3}{4}-\sum\sin A\sin B+2\sum\sqrt{\left(1-\frac{\sin^2A+\sin^2B}{2}\right)\left(1-\frac{\sin^2B...
autor: bosa_Nike
10 paź 2020, o 12:43
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abc=1}\). Udowodnij, że $$\frac{\sqrt[3]{a}}{a^a}+\frac{\sqrt[3]{b}}{b^b}+\frac{\sqrt[3]{c}}{c^c}\le 3.$$
autor: bosa_Nike
10 paź 2020, o 12:36
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Niejedna nietrudna nierówność.
Odpowiedzi: 9
Odsłony: 1246

Re: Niejedna nietrudna nierówność.

Dzięki. Nierówność pochodzi z puli finałowej zadań dla klas dziesiątych estońskiej olimpiady krajowej 2002-2003 (s. 18 dokumentu). Fajne jest to, że można ten problem rozwiązać znając jedynie najbardziej podstawowe reguły przekształcania wyrażeń algebraicznych. Na naszej maturze rozszerzonej chyba t...
autor: bosa_Nike
9 paź 2020, o 13:15
Forum: Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
Temat: Kolejne równanie trygonometryczne
Odpowiedzi: 8
Odsłony: 210

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

W równaniu \(\displaystyle{ 1-\sin 2x=\sin x+\cos x}\) lewa strona jest nieujemna, więc kandydatów uzyskanych z rozwiązania \(\displaystyle{ (1-\sin 2x)^2=(\sin x+\cos x)^2}\) przesiewamy przez sito \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\ge 0}\).
autor: bosa_Nike
8 paź 2020, o 21:23
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Niejedna nietrudna nierówność.
Odpowiedzi: 9
Odsłony: 1246

Re: Niejedna nietrudna nierówność.

Jeszcze jedna.

Dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ 0\le a,b,c\le 2}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c>0}\), udowodnij $$\frac{4}{3}\ge\frac{abc}{a+b+c}.$$
autor: bosa_Nike
8 paź 2020, o 21:16
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Pomysł na to rozwiązanie wziął się z badania tzw. małych przypadków (ale nie n=1 - ten nie zostanie tu uwzględniony). WLOG x_1=\max\left\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\right\} . Pokażemy, że $$\begin{gather}x_1(1-x_1)^4\ge\sum\limits_{2\le i\le n}x_i^4(1-x_i).\tag{$*$}\end{gather}$$ Z jednej strony mamy $$\b...
autor: bosa_Nike
9 sie 2020, o 06:54
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Ted K. pisze:Dla mnie bomba.
autor: bosa_Nike
7 sie 2020, o 23:54
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) udowodnij $$a^2+b^2+c^2\ge a\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+b\sqrt[3]{\frac{c^3+a^3}{2}}+c\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}.$$
autor: bosa_Nike
7 sie 2020, o 22:48
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Ponieważ a+b+c=3 , to 3\ge ab+bc+ca . Stąd oraz z GM-HM otrzymujemy $$\begin{aligned}&\kern-1em\frac{2bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{2ab}{\sqrt{c^2+3}}\\&\le\frac{2bc}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{2ca}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{2ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\\&=\frac{2bc}{\sqrt{(a+b)(a+...
autor: bosa_Nike
30 lip 2020, o 23:40
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Świetnie, Twoja kolej. W dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność* (L. Panaitopol) m_aw_a\ge s(s-a) . To, jak wynika z niej rozwiązanie ostatniego zadania, jest oczywiste. Przedostatnie zaś można zapisać równoważnie jako \sum\frac{m_a^2}{m_aw_a}\le 1+\frac{R}{r} , skorzystać z powyższego oszacow...
autor: bosa_Nike
30 lip 2020, o 20:51
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Czas zmienić zadanie. Oznaczmy \(\displaystyle{ a+b+c=2s}\). Reszta oznaczeń jak w dwóch ostatnich zadaniach ode mnie.
Udowodnij, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność $$m_aw_a+m_bw_b+m_cw_c\ge s^2.$$
autor: bosa_Nike
16 lip 2020, o 01:33
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Oznaczenia jak w poprzednim zadaniu ode mnie. Dodatkowo \(\displaystyle{ R}\) oznacza promień okręgu opisanego, a \(\displaystyle{ r}\) - wpisanego.
Należy udowodnić, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność $$\frac{m_a}{w_a}+\frac{m_b}{w_b}+\frac{m_c}{w_c}\le 1+\frac{R}{r}.$$
autor: bosa_Nike
15 lip 2020, o 21:58
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Oznaczmy a=2x,\ b=2y,\ c=2z . Chcemy dowieść, przy xyz=1 , nierówności $$\sum\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+8x^3\right)\left(1+8y^3\right)}}\ge\frac{1}{3}.$$ Z AM-GM $$\left(1+8x^3\right)=(1+2x)\left(1-2x+4x^2\right)\le\left(\frac{1+2x+1-2x+4x^2}{2}\right)^2=\left(1+2x^2\right)^2,$$ więc wystarczy udowod...
autor: bosa_Nike
8 lip 2020, o 16:23
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1176
Odsłony: 147229

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Można kontynuować. :) Nierówność \frac{(b+c)^2}{4bc}\le\frac{m_a}{w_a}\le\frac{b^2+c^2}{2bc} znana jest jako nierówność Tsintsifasa (nb. pod tą samą nazwą funkcjonuje też inna, również dotycząca trójkąta). Moim zdaniem niezbyt trudno wykazać, że \frac{m_a}{w_a}\le\frac{b^2+c^2}{2bc} jest zawsze praw...