Matematyka.pl

A to najnowsze moje równanie: \(\displaystyle{ \sin^2x +1=1.5\tg x }\). Wygląda niewinnie, ale chyba łatwe nie jest?

Odpowiedź - jakże trywialna: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}+k \pi }\)

Równanie wielomianowe zmiennej \(t=\tan\frac{x}{2}\).

Podnosząc obustronnie do kwadratu i podstawiając `t=\sin^2x` dostajemy równanie `(2t-1)(2t^2+3t+4)=0`

Inaczej:
Obie funkcje mają okres `\pi`, więc rozwiązań wystarczy szukać w przedziale `(-\pi/2,\pi/2)`, a z uwagi na znak prawej strony można sie ograniczyć do `(0,\pi/2)`.

Rozpatrzmy funkcję `h(x)=3/2 \tan x - sin^2x-1` . Mamy
\(\displaystyle{ h'(x)=\frac{3}{2\cos^2x}-\sin 2x>3/2-1>0}\), więc `h` rośnie, a jedno miejsce zerowe już znamy.

Wszystkim serdecznie dziękuję Poniżej zaproponuję szkic mojego rozwiązania:

\(\displaystyle{ 2 \sin^{2}x+2=3\tg x }\)

A teraz tzw. myk ważący najwięcej:

\(\displaystyle{ 2 \sin^{2}x-1=3\tg x-3}\)
\(\displaystyle{ -\cos2x\cos x=3(\sin x-\cos x)}\)
\(\displaystyle{ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\cos x+3(\sin x-\cos x)=0}\)
\(\displaystyle{ (\cos x-\sin x)(\cos^{2}x+\sin x\cos x+ 3)=0}\)
\(\displaystyle{ \tg x=1}\),

sprzeczność drugiego równania łatwo wykazać co najmniej dwoma sposobami, porównując zbiory wartości funkcji trygonometrycznych albo używając w równaniu tangensa.

Coś chyba ze znakami pomieszałeś, (-3 a nie 3) ale generalnie jest ok