Matematyka.pl

\(\displaystyle{ tg \frac{x}{2}tg \frac{y}{2} + tg \frac{y}{2}tg \frac{z}{2}+tg \frac{x}{2}tg \frac{z}{2}=1}\), jeżeli x, y, z to katy trójkąta. Podobno to znana tożsamość (tak twierdzi AI), ale męczę się z nią już 2 dni.

\[\begin{aligned}\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\tan\frac{y}{2}\tan\frac{z}{2}+\tan\frac{z}{2}\tan\frac{x}{2}&=\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\left(\frac{\sin\frac{y}{2}}{\cos\frac{y}{2}}+\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\right)\tan\frac{z}{2}\\&=\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\frac{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}+\sin\frac{y}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}}\cdot\tan\frac{z}{2}\\&=\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\frac{\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi-x-y}{2}}{\cos\frac{\pi-x-y}{2}}\\&=\tan\frac{x}{2}\tan\frac{y}{2}+\frac{\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}}\cdot\frac{\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)}\\&=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{y}{2}}{\cos\frac{y}{2}}+\frac{\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}}\\&=\frac{\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}}+\frac{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}-\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}}\end{aligned}\]
Tutaj, w pierwszym akapicie jest inny sposób.

\(\displaystyle{ \frac{z}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{x+y}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ \tg\frac{z}{2}=\ctg\frac{x+y}{2}=\frac{1}{\tg\frac{x+y}{2}}}\)
Nasz wzór wygląda zatem tak:
\(\displaystyle{ \tg\frac{x}{2}\tg\frac{y}{2}+\frac{\tg\frac{x}{2}+\tg\frac{y}{2}}{\tg\frac{x+y}{2}}=1}\)
a to jest odrobinkę przekształcony wzór na tangens sumy katów `x/2` i `y/2`.

Cała lewa strona to tangens sumy?

Tangens sumy masz w mianowniku drugiego wyrażenia

już sobie poradziłem,,, musiałem wziąć długopis do ręki