Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ x, y \in \RR }\) różnych od zera : \(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} } + \sqrt{ \frac{x^2+y^2}{2} } = \sqrt{xy}+ \frac{x+y}{2} }\)

Takie sobie te założenia. Jeżeli \(x,y\) są liczbami przeciwnymi, to lewa strona nie ma sensu, bo dzielimy przez zero w średniej harmonicznej. Jeżeli \(x,y\) mają różne znaki, to lewa strona ma zerową część urojoną, prawa zaś nie, ze względu na średnią geometryczną.
Dalej niech \(xy>0\). Równoważnie mamy \[\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}=\frac{x+y}{2}-\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\] lub \[\frac{\frac{1}{2}(x-y)^2}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}}=\frac{\frac{1}{2}(x-y)^2}{x+y},\] więc \(x=y\) jest rozwiązaniem. Jeżeli \(x\neq y\), to rozważamy \[x+y=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}.\] To nie ma rozwiązań dla \(x,y<0\), bo strony mają różne znaki. Dla \(x,y>0\) wystarczy rozwiązać \[(x+y)^2=\frac{x^2+y^2}{2}+xy+2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}\cdot xy}\] lub \[\frac{x^2+y^2}{2}+xy=2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}\cdot xy}\] lub \[\left(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}\right)^2=0\] lub \[\left(\frac{\frac{1}{2}(x-y)^2}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}}\right)^2=0,\] a więc jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest \(x=y\).