Matematyka.pl

Dziękuję bardzo za odpowiedź

Mam do udowodnienia taką oto nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+d}+ \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \ge 2}\) , gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d > 0}\)

Chyba nie wiem jak to zrobić.
A nie da się to zrobić jakimś sprytnym sposobem?

Tak na pewno \(\displaystyle{ p \in R}\), jakby były naturalne to by było bardzo proste ...
Podejrzewam, że na pewno trzeba skorzystać z granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ e^{x} -1 }{x} = 1}\), bo taka była wskazówka.

... inf127.pdf

Zaczyna się na stronie 18

Na początku można sobie przyjąć p-1\in \mathbb{N} , wtedy można rozwinąć:
\left( \frac{n}{n+1} \right)^{p-1}=\left( 1- \frac{1}{n+1} \right)^{p-1} ze wzoru dwumianowego.
W ogólnym przypadku łatwo powyższe przekształcić do postaci:
\frac{ \left(\frac{n}{n+1} \right)^{p-1}-1+\frac{p-1}{n}+\frac{p ...

Oblicz granicę w zależności od parametru \(\displaystyle{ p \in R}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( p-n\right) \left( n+1\right) + n^{2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{p-1}}\)

Z góry dzięki za pomoc

P.S. Jeśli komuś może to pomóc to wynik jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}p\left( p+1\right)}\)

To co udało mi się udowodnić, to jest to, że dla \(\displaystyle{ p > 2}\) z kryterium Dirichleta szereg jest zbieżny; czekam na dalsze sugestie

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) ^{p} \cdot \ln \left( \frac{n-1}{n+1} \right)}\)

Z góry dzięki

Dziękuję bardzo za pomoc, już sobie poradziłem z tym zadankiem

Dziękuję za odpowiedź, już wiem jak rozwiązać to zadanie. Jednak to nie jest jeszcze główny temat mojego problemu (myślałem, że ten przykład mi pomoże), który polega na policzeniu sumy takiego szeregu:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)...(n+m)} , gdzie m \in N

Aha wiem, że wynik to \frac{1}{m ...

Oblicz sumę szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}\)

Dziękuję za odp, czy możesz udowodnić te nierówności?
A tak całkiem btw czy wiesz może do jakiej liczby zbiega ten ciąg?

Zbadać zbieżność ciągu

\(\displaystyle{ a_{n}= \left( 1+ \frac{1}{2} \right) \left( 1+ \frac{1}{4} \right) \left( 1+ \frac{1}{8} \right) ... \left( 1+ \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)

Dziękuje i przepraszam, że zdublowałem temat

P.S. A wie ktoś może jak to równanie doprowadzić do postaci:
\(\displaystyle{ \cos4x (6 \cos4 x+7) = 0}\)

bo tak wylicza wolfram