Oblicz granicę

[Dunix]

Oblicz granicę w zależności od parametru \(\displaystyle{ p \in R}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( p-n\right) \left( n+1\right) + n^{2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{p-1}}\)

Z góry dzięki za pomoc

P.S. Jeśli komuś może to pomóc to wynik jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}p\left( p+1\right)}\)

[Zordon]

Na początku można sobie przyjąć \(\displaystyle{ p-1\in \mathbb{N}}\), wtedy można rozwinąć:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{p-1}=\left( 1- \frac{1}{n+1} \right)^{p-1}}\) ze wzoru dwumianowego.
W ogólnym przypadku łatwo powyższe przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \left(\frac{n}{n+1} \right)^{p-1}-1+\frac{p-1}{n}+\frac{p}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}}\)
Zatem wystarczy obliczyć granicę funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \frac{ \left(\frac{1}{x+1} \right)^{p-1}-1+x(p-1)+px^2}{x^2}}\)
Można to zrobić z wykorzystanie reguły d'Hospitala

[Dasio11]

Można też rozwinąć w szereg:

\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{p-1} = \left(1-\frac{1}{n+1} \right)^{p-1} = 1 - \frac{p-1}{n+1} + \frac{(p-1)(p-2)}{2(n+1)^2} + \mathcal O \left( \frac{1}{n^3} \right).}\)

[Dunix]

Na początku można sobie przyjąć \(\displaystyle{ p-1\in \mathbb{N}}\), wtedy można rozwinąć:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{p-1}=\left( 1- \frac{1}{n+1} \right)^{p-1}}\) ze wzoru dwumianowego.
W ogólnym przypadku łatwo powyższe przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \left(\frac{n}{n+1} \right)^{p-1}-1+\frac{p-1}{n}+\frac{p}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}}\)
Zatem wystarczy obliczyć granicę funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \frac{ \left(\frac{1}{x+1} \right)^{p-1}-1+x(p-1)+px^2}{x^2}}\)
Można to zrobić z wykorzystanie reguły d'Hospitala

Niestety nie mogę używać rachunku różniczkowego przy rozwiązywaniu tego zadania.

Można też rozwinąć w szereg:

\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{p-1} = \left(1-\frac{1}{n+1} \right)^{p-1} = 1 - \frac{p-1}{n+1} + \frac{(p-1)(p-2)}{2(n+1)^2} + \mathcal O \left( \frac{1}{n^3} \right).}\)

Mógłbyś dokładniej opisać ten sposób, bo nigdy nie rozwijałem takich wyrażeń w szereg.

P.S. Tak naprawdę ta granica jest częścią większego problemu, który udało mi się uprościć to tej postaci, ale być może ktoś ma pomysł jak zrobić to inaczej, żeby uniknąć tej "ciekawej" granicy. Oto ten problem

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{ 1^{p} + 2^{p} + ... + n^{p} }{n^{p}} - \frac{n}{p+1} \right)}\)
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, zastosowaniu twierdzenia Stolza, i skróceniu przez \(\displaystyle{ (n+1)^{p-1}}\) otrzymuję

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\left( p-n\right) \left( n+1\right) + n^{2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{p-1}}{(p+1)\left(1+\left(\frac{n}{n+1}\right)^{p-1}\right)}}\)

I teraz granicę mianownika policzyłem bez większego trudu korzystając m. in. z granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ e^{x} -1 }{x} = 1}\) i wychodzi \(\displaystyle{ p(p+1)}\) , natomiast problemy pojawiły się przy liczeniu granicy licznika.

Jeszcze raz proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[Zordon]

Jesteś pewien, że \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\) a nie \(\displaystyle{ p\in \mathbb{N}}\)?
Jeśli tak, to podaj jaka była na wykładzie definicja funkcji potęgowej \(\displaystyle{ x\mapsto x^p}\) dla \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\) bo to jest jądro tego problemu. Nic się nie udowodni, nie wiedząc o czym mowa.

[Dunix]

Tak na pewno \(\displaystyle{ p \in R}\), jakby były naturalne to by było bardzo proste ...
Podejrzewam, że na pewno trzeba skorzystać z granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ e^{x} -1 }{x} = 1}\), bo taka była wskazówka.

... inf127.pdf

Zaczyna się na stronie 18

[Zordon]

Ok, można to też definiować inaczej: dopiero po wprowadzeniu funkcji eksponencjalnej, więc wolałem spytać.

Czy potrafisz to pokazać, dla liczb \(\displaystyle{ p}\) postaci \(\displaystyle{ 1/n}\) dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_{>0}}\)? To jest naturalny drugi krok, gdybyśmy chcieli naśladować definicję funkcji potęgowej.

[Dunix]

Chyba nie wiem jak to zrobić.
A nie da się to zrobić jakimś sprytnym sposobem?