Matematyka.pl

W jaki sposób obliczyć wartość oczekiwaną liczby cykli w permutacji losowej \(\displaystyle{ n}\) liczb?
Największym (chyba) problemem jest tu zliczenie ile jest permutacji o dokładnie \(\displaystyle{ k}\) cyklach, jak je zliczyć?

Jak wykazać, że dla spójnej rozmaitości gładkiej M i dla dowolnych punktów x, y \in M istnieje dyfeomorfim f : M \rightarrow M taki, że f(x) = y .-- 22 cze 2014, o 15:58 --To może inaczej. Cała trudność byłaby zażegnana gdyby udowodnić następujący lemat: Niech \epsilon\in(0,1) . Wówczas istnieje dyf...

W jaki sposób znaleźć liczbę rozwiązań kongruencji
\(\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \; (mod\; 20!)}\)
w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, \ldots, 20!-1 \right\}}\)?

W jaki sposób udowodnić, że dla \(\displaystyle{ k}\)-tej grupy homologii iloczynu przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) ze sferą \(\displaystyle{ \mathbb{S}^n}\) mamy izomorfizm \(\displaystyle{ H_k\left( X \times \mathbb{S}^n \right) = H_k\left( X \right) \oplus H_{k-n}\left( X \right)}\) ?

W jaki sposób obliczyć homologię przestrzeni rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{RP}^n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)?

W jaki sposób zbadać poziomice funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = y^2 - x^2 y - 2x^4 + \varepsilon x}\)
dla małych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) by móc je naszkicować?

No właśnie - ciąg Cauchy'ego jest ograniczony! O tym zapomniałem i to generowało wszystkie problemy. Dziękuję.

Ale w jaki sposób odnieść tę nierówność do granicy?

Skąd to oszacowanie? Czy nie powinno być \(\displaystyle{ |g(\eta )-g(\varphi )| \le ||g|| |\eta -\varphi |^\alpha}\)? I co z tego wynika?

No tak, z tego, że ||f|| \ge ||f||_{\infty} i z zupełności C\!\left(\left[0,1\right]\right) mamy, że ciąg Cauchy'ego funkcji z naszej przestrzeni ma granicę w funkcjach ciągłych, ale jak pokazać, że ta granica spełnia warunek Höldera z wykładnikiem \alpha i że jest granicą także w tej przestrzeni?

Dla \alpha\in\left(0,1\right] definiujemy C^\alpha\!\left(\left[0,1\right]\right) = \left\{ f \in C\!\left(\left[0,1\right] \right) \; : \sup_{x,y\in\left[0,1\right]}\!\!\tfrac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|^\alpha} < \infty \right\} oraz normę \Vert f \Vert = \!\sup_{x\in\left[0,1\right]}...

Czy kryterium całkowe ma tu zastosowanie? Ciąg \(\displaystyle{ \frac{\sin\left(\ln\left(n\right)\right)}{n}\;}\) nie jest monotoniczny; w szczególności przyjmuje wartości różnych znaków.

W jaki sposób udowodnić, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(\ln\left(n\right)\right)}{n}\;}\) jest rozbieżny?

To raczej nie jest aż takie proste. Chyba zapomniałeś w tej sumie o symbolu Newtona.

W jaki sposób wykazać, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} i}\)
nie jest pierwiastkiem jedynki?