Izomorfizm grup homologii
-
Hirakata
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 17:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ttm
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 20 razy
Izomorfizm grup homologii
W jaki sposób udowodnić, że dla \(\displaystyle{ k}\)-tej grupy homologii iloczynu przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) ze sferą \(\displaystyle{ \mathbb{S}^n}\) mamy izomorfizm \(\displaystyle{ H_k\left( X \times \mathbb{S}^n \right) = H_k\left( X \right) \oplus H_{k-n}\left( X \right)}\) ?
-
thom
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 31 sie 2013, o 00:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 25 razy
Izomorfizm grup homologii
Wynika to z oraz dwóch innych faktów:
(1) Dla sfery \(\displaystyle{ \mathbb{S}^n}\) jedynymi niezerowymi grupami homologii są \(\displaystyle{ H_0(\mathbb{S}^n)\cong H_n(\mathbb{S}^n)\cong\ZZ}\).
(2) Nad pierścieniem \(\displaystyle{ \ZZ}\) (czyli w kategorii grup przemiennych) funktor \(\displaystyle{ \mathrm{Tor}}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathrm{Tor}(G,\ZZ)=\mathrm{Ext}(\ZZ,G)=0}\) dla dowolnej grupy przemiennej \(\displaystyle{ G}\), a zatem wobec (1) drugi składnik sumy prostej we wzorze Künnetha zeruje się.
Mamy więc \(\displaystyle{ H_k(X\times\mathbb{S}^n)\cong\left(H_k(X)\otimes_{\ZZ}\ZZ\right)\oplus\left(H_{k-n}(X)\otimes_{\ZZ}\ZZ\right)\cong H_k(X)\oplus H_{k-n}(X)}\).
(1) Dla sfery \(\displaystyle{ \mathbb{S}^n}\) jedynymi niezerowymi grupami homologii są \(\displaystyle{ H_0(\mathbb{S}^n)\cong H_n(\mathbb{S}^n)\cong\ZZ}\).
(2) Nad pierścieniem \(\displaystyle{ \ZZ}\) (czyli w kategorii grup przemiennych) funktor \(\displaystyle{ \mathrm{Tor}}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathrm{Tor}(G,\ZZ)=\mathrm{Ext}(\ZZ,G)=0}\) dla dowolnej grupy przemiennej \(\displaystyle{ G}\), a zatem wobec (1) drugi składnik sumy prostej we wzorze Künnetha zeruje się.
Mamy więc \(\displaystyle{ H_k(X\times\mathbb{S}^n)\cong\left(H_k(X)\otimes_{\ZZ}\ZZ\right)\oplus\left(H_{k-n}(X)\otimes_{\ZZ}\ZZ\right)\cong H_k(X)\oplus H_{k-n}(X)}\).