Zupełność przestrzeni

[Hirakata]

Dla \(\displaystyle{ \alpha\in\left(0,1\right]}\) definiujemy \(\displaystyle{ C^\alpha\!\left(\left[0,1\right]\right) = \left\{
f \in C\!\left(\left[0,1\right] \right) \; :
\sup_{x,y\in\left[0,1\right]}\!\!\tfrac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|^\alpha} < \infty
\right\}}\) oraz normę \(\displaystyle{ \Vert f \Vert = \!\sup_{x\in\left[0,1\right]}\!\left| f(x)\right| +\!\!\!
\sup_{x,y\in\left[0,1\right]}\!\!\tfrac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|^\alpha}}\)
Jak wykazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ C^\alpha\!\left(\left[0,1\right]\right)}\) jest zupełna?

[brzoskwinka1]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ ||f|| \ge ||f||_{\infty} .}\)

[Hirakata]

No tak, z tego, że \(\displaystyle{ ||f|| \ge ||f||_{\infty}}\) i z zupełności \(\displaystyle{ C\!\left(\left[0,1\right]\right)}\) mamy, że ciąg Cauchy'ego funkcji z naszej przestrzeni ma granicę w funkcjach ciągłych, ale jak pokazać, że ta granica spełnia warunek Höldera z wykładnikiem \(\displaystyle{ \alpha}\) i że jest granicą także w tej przestrzeni?

[brzoskwinka1]

Ok. Zauważ teraz, że jeśli \(\displaystyle{ g\in C^{ \alpha } ([0,1])}\) , to \(\displaystyle{ \forall_{\eta, \varphi \in [0,1]} |g(\eta )-g(\varphi )| \le ||g|| |\eta -\varphi | .}\)

[Hirakata]

Skąd to oszacowanie? Czy nie powinno być \(\displaystyle{ |g(\eta )-g(\varphi )| \le ||g|| |\eta -\varphi |^\alpha}\)? I co z tego wynika?

[brzoskwinka1]

Tak, powinno być tak jak napisałeś. Wynika z tego, granica ( w funkcjach ciągłych) o której pisałeś spełnia warunek Holdera z wykładnikiem \(\displaystyle{ \alpha .}\)

[Hirakata]

Ale w jaki sposób odnieść tę nierówność do granicy?

[brzoskwinka1]

No to niech \(\displaystyle{ ( \xi_n )}\) będzie ciągiem Cauchy'ego elementów przestrzeni \(\displaystyle{ C^{ \alpha } ([0,1]) .}\) Ponieważ każdy ciąg Cauchy'ego jest ograniczony więc istnieje stała \(\displaystyle{ \sigma \ge 0}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ ||\xi_n || \le \sigma .}\) Zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) i dowolnych \(\displaystyle{ \lambda , \delta \in [0,1]}\) mamy
\(\displaystyle{ |\xi_n (\lambda ) -\xi_n (\delta )| \le \sigma |\lambda -\delta |^{ \alpha }}\)
i przechodzimy z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności.

[Hirakata]

No właśnie - ciąg Cauchy'ego jest ograniczony! O tym zapomniałem i to generowało wszystkie problemy. Dziękuję.

[rafalpw]

W takim razie mamy, że ta granica jest w przestrzeni \(\displaystyle{ C^{\alpha}}\). A skąd mamy zbieżność w normie \(\displaystyle{ \Vert f \Vert = \!\sup_{x\in\left[0,1\right]}\!\left| f(x)\right| +\!\!\! \sup_{x,y\in\left[0,1\right]}\!\!\tfrac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|^\alpha}}\) ?