Jak wykazać, że dla spójnej rozmaitości gładkiej \(\displaystyle{ M}\) i dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ x, y \in M}\) istnieje dyfeomorfim \(\displaystyle{ f : M \rightarrow M}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x) = y}\).-- 22 cze 2014, o 15:58 --To może inaczej. Cała trudność byłaby zażegnana gdyby udowodnić następujący lemat:
Niech \(\displaystyle{ \epsilon\in(0,1)}\). Wówczas istnieje dyfeomorfizm kuli jednostkowej w siebie \(\displaystyle{ f: B(0,1)\to B(0,1)}\) taki, że:
- dla ustalonych \(\displaystyle{ x,y\in B(0,1-\epsilon)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=y}\),
- dla \(\displaystyle{ z\in B(0,1) \setminus B(0,1-\epsilon)}\) mamy \(\displaystyle{ f(z)=z}\).
To znaczy istnieje dyfeomorfizm kuli, który zamienia dwa punkty, a blisko brzegu jest identycznością. Z tego łatwo już skonstruować dyfeomorfizm rozmaitości, o który chodzi w zadaniu. Tylko jak wykazać ten lemat? Proszę o pomoc.