Matematyka.pl

1) Podać przykład takiej pary macierzy A_{1}, A_{2} M_{2x2}(R) , że istnieje endomorfizm \phi: R^2 R^2 oraz bazy B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2} przestrzeni R^2 spełniające A_{i} = M(\phi)_{B_{i}}^{C_{i}} dla i = 1,2 , ale nie istnieje endomorfizm \phi: R^2 R^2 oraz bazy B_{1}, B_{2} przestrzeni R^2 ...

\(\displaystyle{ {n \choose k} = 0}\) - dla k < 0

Udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}i{n-4\choose i-2} = n2^{n-5}.}\)

Mój wynik pokrywa się z odpowiedzią ze zbioru zadań, dlatego sądzę. że jest poprawny. Jeśli chodzi o rozróżnialność kostek, to są one oczywiście rozróżnialne.

Chodzi o r rzeczywiste. Współczynniki dwumienne \(\displaystyle{ {r\choose k}}\) sa zdefiniowane również dla rzeczywistych r.

Widziałem kiedyś dowód korzystający z dwumiany Newtona dla liczb wymiernych a dalej rozciągało się na niewymierne z użyciem ciągłości (chyba). Właśnie takiego dowodu szukam.

Twój wynik jest niepoprawny, gdyż niektóre kombinacje liczysz dwukrotnie. Np. (1, 1, 2) liczysz przy założeniu, że '1' wypadło na kostce nr. 1 a później drugi raz, gdy '1' wypadło na kostce nr.2.

Poprawną odpowiedzią jest: 36 (policzyłem na siłę)

Raczej nie, ponieważ z treści wnioskuję, że cyfra '2' może wystąpić od 0 do 4 razy, cyfra '7' 0 lub 1 raz, cyfra '5' od 0 do 2 razy, itd..

A poprawnym wynikiem jest: 265. Tylko nie wiem jak go uzyskać

Rzucamy trzema kostkami. Ile jest możliwości otrzymania takich trójek, w których najwyższa wartość jest dwa razy większa od najniższej?

Ile różnych liczb można utworzyć, mnożąc dwie lub więcej liczb spośród: 3,4,4,5,5,6,7,7,7?

Ile różnych kształtów można uzyskać, zestawiając sześć identycznych kwadratów tak, że każdy następny przylega całym bokiem do któregoś z poprzednich?

Ile liczb 5-cyfrowych można utwożyć z cyfr liczby 75226522?

Prosiłbym o przedstawienie toku rozumowania.

Pokazać, że dla \(\displaystyle{ r < 0}\) lub \(\displaystyle{ r > 1}\) oraz \(\displaystyle{ x > -1 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ (1+x)^r > 1+xr}\)

Chodzi mi o dowód nie korzystający z całek ani pochodnych. Podobno da się to jakoś udowodnić za pomocą dwumianu Newtona.

pierwsze ok, ale czy w drugim pisząć:

\(\displaystyle{ (0 - 1)a = 0a - a}\)

nie powołujesz się na tezę tzn., że \(\displaystyle{ (-1) \cdot a = -a}\) ?

Chyba rozwiązełem :

Mamy:
w = \cos{\alpha} + i\sin{\alpha}

Chcemy, aby zachodziło:
w = \frac{z}{\overline{z}} = \frac{|z|(\cos{\beta} + i\sin{\beta})}{|\overline{z}|(\cos{\beta} - i\sin{\beta})} = (\cos{\beta} + i\sin{\beta})^{2} = \cos{2\beta} + i\sin{2\beta}

Czyli wystarczy, aby
\beta ...

Niech \(\displaystyle{ w = \frac{3+4i}{5}}\). Znaleźć taką liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ w = \frac{z}{\overline{z}}}\). Wykazać, że każda liczba zespolona o module 1 jest ilorazem dwóch liczb zespolonych sprzężonych.

Pierwszy część - odpowiedź:
\(\displaystyle{ z = (2+i)}\)

Druga część - ????