Liczba zespolona o module 1

globi · Post autor: **globi** » 13 lis 2005, o 18:04

Niech \(\displaystyle{ w = \frac{3+4i}{5}}\). Znaleźć taką liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ w = \frac{z}{\overline{z}}}\). Wykazać, że każda liczba zespolona o module 1 jest ilorazem dwóch liczb zespolonych sprzężonych.

Pierwszy część - odpowiedź:
\(\displaystyle{ z = (2+i)}\)

Druga część - ????

g · Post autor: g » 13 lis 2005, o 18:25

popatrz na to z trygonometrycznego punktu widzenia.

globi · Post autor: **globi** » 13 lis 2005, o 19:24

Chyba rozwiązełem :

Mamy:
\(\displaystyle{ w = \cos{\alpha} + i\sin{\alpha}}\)

Chcemy, aby zachodziło:
\(\displaystyle{ w = \frac{z}{\overline{z}} = \frac{|z|(\cos{\beta} + i\sin{\beta})}{|\overline{z}|(\cos{\beta} - i\sin{\beta})} = (\cos{\beta} + i\sin{\beta})^{2} = \cos{2\beta} + i\sin{2\beta}}\)

Czyli wystarczy, aby
\(\displaystyle{ \beta = \frac{\alpha}{2}}\)

Czy mam rację?

g · Post autor: g » 13 lis 2005, o 19:46

RyszardSzubartowski · Post autor: **RyszardSzubartowski** » 14 lut 2011, o 00:19

Witam.
Bardzo prosiłbym bym o wytłumaczenie jak dojść do wyniku z pierwszej części zadania.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 00:23

czego konkretnie nie wiesz? \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

RyszardSzubartowski · Post autor: **RyszardSzubartowski** » 14 lut 2011, o 05:16

No jak nie liczę to wychodzi mi że a jest zależne od b.
i niestety nie mogę sobie z tym poradzić

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 11:41

pokaż zatem jak liczysz