Nierówność Bernoulliego

[globi]

Pokazać, że dla \(\displaystyle{ r < 0}\) lub \(\displaystyle{ r > 1}\) oraz \(\displaystyle{ x > -1 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ (1+x)^r > 1+xr}\)

Chodzi mi o dowód nie korzystający z całek ani pochodnych. Podobno da się to jakoś udowodnić za pomocą dwumianu Newtona.

[Rogal]

Jeśli dobrze pamiętam, to się to całkiem nieźle nawet dowodzi za pomocą indukcji najpierw dla naturalnych, a potem się rozszerza na całkowite właśnie. Ale głowy nie daję.

[soliter]

\(\displaystyle{ r}\) ma należeć do rzeczywistych czy do całkowitych?

[Rogal]

Sądzę, że jeżeli dowodzenie ma być za pomocą dwumianu Newtona i nie korzystać z całek, to raczej całkowite .

[soliter]

Może być indukcyjnie?
1. c=-1
\(\displaystyle{ [(1+x)^{-1}>1-x]\Leftrightarrow [\frac{1}{1+x}>1-x]\Leftrightarrow [1>1-x^2]}\)
2. Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ [(1+x)^{c}>1+xc]\Rightarrow [(1+x)^{c-1}>1+x(c-1)]}\)
Istotnie, bo:
\(\displaystyle{ (1+x)^{c-1}=\frac{(1+x)^{c}}{1+x}>\frac{1+xc}{1+x}}\)
\(\displaystyle{ [\frac{1+xc}{1+x}>1+x(c-1)]\Leftrightarrow [1+xc>1+xc+x^2c-x^2]\Leftrightarrow [x^2>x^2c]}\)

[Zlodiej]

No, a jeśli już ma być dwumianem to założenia r jest całkowite.

Dla r=0 sprawa jest jasna.

r>1

\(\displaystyle{ (1+x)^r={r \choose 0}\cdot 1^r + {r \choose 1} \cdot 1^{r-1}\cdot x +{r \choose 2}\cdot 1^{r-2}\cdot x^2 +...+{r \choose r}\cdot 1\cdot x^r=1+rx+t>1+rx}\)

Gdzie t to ta reszta. Łatwo zauwayć, że t>0.

Dla r

[globi]

Chodzi o r rzeczywiste. Współczynniki dwumienne \(\displaystyle{ {r\choose k}}\) sa zdefiniowane również dla rzeczywistych r.

Widziałem kiedyś dowód korzystający z dwumiany Newtona dla liczb wymiernych a dalej rozciągało się na niewymierne z użyciem ciągłości (chyba). Właśnie takiego dowodu szukam.

[dodka88]

prosze pomozcie mi zrobic zadanie (wraz z wytlumaczeniami, bo musze jutro to przy tablicy rozwiazac )
udowodnic nierownosc bernoulliego:
a) dla x>-1 oraz dowolnego naturalnego r>1 zachodzi

(1+x)^r > 1+xr

b) pokazac, ze dla x>0 i r€N r>1 zachodzi

(1+x)^r > 1+ r(r-1)/2