Matematyka.pl

skoro masz
\(\displaystyle{ (1+2+...+k)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+k^{3}}\)
to zostanie do udowodnienia:
\(\displaystyle{ (k+1)^{3}=2(1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^{2}}\)
Jak sobie to poskracasz to wyjdzie Ci oczywisty wzór:
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+k= \frac{k(k+1)}{2}}\)
, który zakładam, że potrafisz udowodnić.
Pozdrawiam.

Może zachodzić ponieważ poruszając jednym końcem skakanki powodujemy powstanie fali, która odbijając się od miejsca, gdzie jest unieruchomiony drugi koniec, interferuje sama ze sobą. Powstaje tzw. fala stojąca. Więcej o tym np. na wiki:

Skorzystaj ze wzoru:

\frac{1}{f} =( \frac{n_{socz}}{n_{otocz}} -1)( \frac{1}{R_{1}}+ \frac{1}{R_{2}} )
Aby obliczyć ogniskową musisz mieć dane współczynniki załamania soczewki i otoczenia (w wodzie soczewka ma inną ogniskową niż w powietrzu).
Jeśli soczewka jest po jednej stronie płaska to jeden ...

Dla x \in (0;1) masz:
\log_{x}5>1 \Leftrightarrow \log_{x}5>\log_{x}x
Stąd 5<x (znak się zmienia na przeciwny, bo podstawą logarytmu jest liczba mniejsza od 1, w Twojej książce od matematyki na pewno jest to wyjaśnione)
Ale to rozwiązanie jest niezgodne z założeniem, gdyż nie może być naraz x>5 i ...

Pole całkowite prostopadłościanu o bokach a,b,c wyraża się wzorem P=2ab+2bc+2ca=2(ab+bc+ca)
Mamy zatem P=2(1,5 \cdot 3+3 \cdot 5+1,5 \cdot 5)=2(4,5+15+7,5)=2 \cdot 27=54
To pole ma być równe polu sześcianu o boku x:
P=6 \cdot x^{2}

Stąd:
54=6 \cdot x^{2} \Leftrightarrow x^{2}=9 \Leftrightarrow ...

1) Zapomniałeś uwzględnić, że dla postawy logarytmu mniejszej od 1, przy porównywaniu liczb logarytmowanych, zmienia się znak nierówności na przeciwny - i tak dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\) otrzymasz rozwiązanie niezgodne z założeniem.
2) W odpowiedziach jest błąd - zapomnieli porównać z dziedziną.
Pozdrawiam.

Mamy:

a^{2}+b^{2} \le 2 \Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2} \le 2-2ab \Leftrightarrow (a-b)^{2} \le 2-ab

Ale (a-b)^{2} \ge 0

Stąd 2-2ab \ge 0

Dodając tę nierówność stronami do nierówności a^{2}+b^{2} \le 2

mamy: a^{2}+b^{2} \le 2+2-2ab \Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2} \le 4 \Leftrightarrow (a+b ...

Jest to wartość -m. Prowadząc prostą równoległa do prostej y=x otrzymasz prostą o równaniu y=x+b, która przecina oś OY w punkcie b (wynika to z faktu, iż prosta przecina się z osią OY dla współrzędnej x=0). A jako, że prosta, którą poprowadziliśmy (y=x+b), to nic innego jak prosta y=x+(-m), to b=-m.

Wyjdźmy z oczywistego faktu, iż \lim_{n \to \infty}3^{n}=+\infty . Wynika stąd, że istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu 3^{n} większych od np. 10^{D} , gdzie D jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Zauważmy, że suma cyfr każdego z tych wyrazów jest większa od D, gdyż każdy z tych wyrazów w zapisie ...

\left|x^{2}-4x+3 \right|+m \le x \Leftrightarrow \left|x^{2}-4x+3 \right| \le x+(-m)

Rozwiąż to ostatnią nierówność graficznie:

1. Narysuj wykres funkcji \left|x^{2}-4x+3 \right|

Otrzymasz go przez:
a)Narysowanie wykresu funkcji kwadratowej x^{2}-4x+3
b)Odbicie symetrycznie względem osi OX ...

2\cos^{2}2x=1 \Leftrightarrow \cos^{2}2x= \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos2x= \sqrt{ \frac{1}{2} } \vee \cos2x= -\sqrt{ \frac{1}{2} } \Leftrightarrow \cos2x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow \cos2x= -\frac{ \sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow (2x= \frac{\pi}{4} + 2k\pi \vee 2x= \frac{7\pi}{4}+2k\pi ...

\left| \sin2x\right|- \frac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left| \sin2x\right| \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin2x \le - \frac{1}{2} \vee \sin2x \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x \in \langle \frac{7\pi}{6} +2k\pi;\frac{11\pi}{6} +2k\pi\rangle \vee 2x \in \langle \frac{\pi}{6} +2k\pi;\frac{5\pi}{6 ...

Prosta AC: y=ax+b
Wstaw do tego równania wartości x=2, y=-4 i osobno x=-1 i x=-1. Otrzymasz w ten sposób układ równań, z którego obliczysz wartości a i b. Wyznaczysz tym samym równanie prostej AC. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym dokładnie w połowie swojej długości. Wyznaczmy zatem ...

Oczywiście powstały odcinek jest poziomy (tzn. równoległy do podstawy)
Trzeba znaleźć punkty przecięcia prostej y=t z danymi dwiema prostymi, a konkretnie ich współrzędne x-owe. Otrzymasz je z układów równań:
\begin{cases} y=t \\y=2x-1 \end{cases} i \begin{cases} y=t\\ y=0,5x+2 \end{cases}
Wstaw ...

Oblicz pochodną funkcji f(x)=-x^{2}+4 przyjmij, że szukasz punktu o współrzędnej x-owej równej x_{0} , oblicz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=-x^{2}+4 w punkcie x_{0} - ze wzorku który zapewne masz w podręczniku (jeśli nie to na wiki), wyznacz współrzędne punktów przecięcia z osiami tej ...