Uzasadnij, że dla każdego \(\displaystyle{ a \in R}\) i \(\displaystyle{ b \in R}\) z nierówności \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ \left|a+b \right|\le 2}\).
Wiem że to jakoś trzeba zrobić przez \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\) ale nie potrafie do konca wywnioskowac.
Implikacja między nierównościami.
-
kuba958
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 24 mar 2009, o 17:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecinek
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 13 razy
Implikacja między nierównościami.
Mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2 \Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2} \le 2-2ab \Leftrightarrow (a-b)^{2} \le 2-ab}\)
Ale \(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ 2-2ab \ge 0}\)
Dodając tę nierówność stronami do nierówności\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2}\)
mamy: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2+2-2ab \Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2} \le 4 \Leftrightarrow (a+b)^{2} \le 4 \Leftrightarrow \left|a+b \right| \le 2}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2 \Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2} \le 2-2ab \Leftrightarrow (a-b)^{2} \le 2-ab}\)
Ale \(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ 2-2ab \ge 0}\)
Dodając tę nierówność stronami do nierówności\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2}\)
mamy: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2+2-2ab \Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2} \le 4 \Leftrightarrow (a+b)^{2} \le 4 \Leftrightarrow \left|a+b \right| \le 2}\)