Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Niech P oznacza zbiór wielomianów. Sprawdzić, że operacja różniczkowania \(\displaystyle{ D:P \rightarrow P}\) jest operatorem liniowym. Znajdz Im(D).

Nie za bardzo wiem jak zabrać się za badanie zbieżności(rozbieżności) szeregów postaci:
(1) \sum_{n=1}^{\infty}sin \frac{1}{n} tg\frac{1}{n}
(2) \sum_{n=1}^{\infty}sin \frac{1}{\sqrt{n}} tg\frac{1}{\sqrt{n}}
(3) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} cos\frac{1}{n}
(4) \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}*{sin ...

Tomasz Tkaczyk pisze:Jak zrobić z dowolnej liczby naturalnej parzystą?

Czyżby wystarczyło pomnożyć przez 2?

Jan Kraszewski pisze:
Co to jest \(\displaystyle{ \mathbb{N}_2}\)? Parzyste?

Dokładnie tak - chodzi o parzyste liczby naturalne

Pokaż, że dwa dowolne odcinki na prostej są równoliczne.

Pokaż, że następujące zbiory są równoliczne:
(a) \(\displaystyle{ \mathbb{N}, \mathbb{N}_{2}, \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\)
(b) \(\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), \mathbb{R}}\)

Pokazać, że:
1) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = 2^{n}}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} {n\choose k} = 0}\)

Maciej87 pisze:Popraw treść pierwszego

Rzeczywiście w treści zadania pojawił się błąd, który już poprawiłem. Niestety nie za bardzo wiem w dalszym ciągu w jaki sposób mogę te równości pokazać. Proszę o pomoc.

Niech \(\displaystyle{ l(A)}\) oznacza liczebność zbioru (skończonego) A. Pokaż, że
a) \(\displaystyle{ l(A \cup B) = l(A) + l(B) - l(A \cap B)}\)
b) \(\displaystyle{ l(A \cup B \cup C) = l(A)+l(B)+l(C)-l(A \cap B) - l(A \cap C)-l(B \cap C) + l(A \cap B \cap C)}\)

Udowodnij indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ \bigcup_{}^{n} A_{k} = \bigcup_{k=1}^{n}[A_{k} - \bigcup_{i=1}^{k=1}A_{i}]}\)

Udowodnij, że żadna macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&c\\0&1\end{array}\right]}\), gdzie c jest różne od 0, nie jest podobna do żadnej macierzy diagonalnej.

Wyprowadź wzór na \(\displaystyle{ A^{n}}\) dla macierzy:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-3\\4&-5\end{array}\right]}\). Wskazówka: Znajdź diagonalną macierz B podobną do A.

Dla jakich wartości parametru p podany układ ma rozwiązanie?
\begin{cases} px_{1}+px_{2}+px_{3} = p\\x_{1}+px_{2}+px_{3} = p\\ x_{1}+x_{2}+px_{3} = p\end{cases}

O ile wiem rozwiązanie takiego układu istnieje jeśli rząd macierzy jest równy rzędowi jego macierzy rozszerzonej. Szkopuł w tym, że nie ...

Znajdź rząd macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}5&p&5&p\\1&1&1&1\\p&p&2&2\end{array}\right]}\) w zależności od paramteru p.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu nastepującego zadania:
Pokaż, że każda kwadratowa macierz nieosobliwa stopnia 2 jest iloczynem macierzy poniższych typów:
\left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}c&0\\0&1\end{array ...