Liczebność zbiorów, dowód

[piotrekd4]

Niech \(\displaystyle{ l(A)}\) oznacza liczebność zbioru (skończonego) A. Pokaż, że
a) \(\displaystyle{ l(A \cup B) = l(A) + l(B) - l(A \cap B)}\)
b) \(\displaystyle{ l(A \cup B \cup C) = l(A)+l(B)+l(C)-l(A \cap B) - l(A \cap C)-l(B \cap C) + l(A \cap B \cap C)}\)

[Maciej87]

Popraw treść pierwszego

[piotrekd4]

Popraw treść pierwszego

Rzeczywiście w treści zadania pojawił się błąd, który już poprawiłem. Niestety nie za bardzo wiem w dalszym ciągu w jaki sposób mogę te równości pokazać. Proszę o pomoc.

[pipol]

N początek zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ B\subset A}\) , to \(\displaystyle{ l(A \backslash B)=l(A)-l(B)}\) oraz jesli \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\) , to \(\displaystyle{ l(A \cup B)=l(A) +l(B)}\) .
Mamy teraz \(\displaystyle{ l(A \cup B)=l((A \backslash (A \cap B)) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash (A \cap B)) )= l( A \backslash (A \cap B)) +l(A \cap B) +l(B \backslash (A \cap B)) =l(A)-l(A \cap B) +l(A \cap B) +l(B)-l(A \cap B) =l(A)+l(B)-l(A \cap B)}\)

2) \(\displaystyle{ l(A \cup B \cup C) =l(A \cup B) +l(C)-l((A \cup B) \cap C)=l(A)+l(B)-l(A \cap B) +l(C) -l((A \cap C) \cup (B \cap C))=l(A)+l(B)-l(A \cap B) +l(C)-l(A \cap C)-l(B\cap C)+l(A \cap C \cap B)}\)