Matematyka.pl

To jest świetny schemat, dzięki !

A co musiał bym zastosować, żeby policzyć splot 2 takich samych funkcji f(x)=g(x) = e^{-t^{2}} ?

bo wychodzi nie za ładna całka:
\int_{- \infty }^{ \infty } e^{-\tau^2} e^{-(t-\tau)^2} \, d\tau

Oczywiście nie wolno mi skorzystać z Borela... zresztą i to by mi ...

chciałbym policzyć splot funkcji f(t)*g(t):

f(t)= 1(t)e^{-t}
g(t)= 1(t)e^{-2t}

gdzie 1(t) to funkcja Heaviside'a

zacząłem to rozpisywać tak:

\int_{0}^{t}\left[ \left( 1(\tau)e^{-\tau}\right) \cdot \left( 1(t - \tau)e^{-2(t - \tau)}\right) \right] d\tau

=

\int_{0}^{t}\left[ \left( \begin ...

Chciałbym policzyć transformatę:

f(t) = e^{-3 \left| t - 1\right|

Miałem na zajęciach podane, że:
f(t) = e^{-c\left| t\right| } \rightarrow \widehat{f}(\omega) = \frac{2c}{ \omega^{2} + c^{2}}

Myślałem, że mógłbym za c wstawić 3 i następnie wykonać przesunięcie argumentu funkcji o t-1, czyli ...

no tak ... dzięki

Muszę z definicji policzyć transformatę Fouriera funkcji f(t) = e^{-|t|}

zakładam, że powinienem policzyć:
\int_{- \infty }^{\infty } e^{-|t|} e ^{-i \omega t} dt = \int_{-\infty }^{\infty } e^{-|t| -i \omega t}

Niestety nie wiem jak się pozbyć wartości bezwzględnej w tej całce i jak to ...

Przedstawić za pomocą wzoru całkowego Fouriera funkcje:

f(x) = \begin{cases} 1 ; \left| x\right| < 1 \\ 0 ; \left| x\right| < 1 \end{cases}

Myślałem, że może można by tak:

a(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \cos (\omega \tau) d\tau
b(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin (\omega \tau) d ...

Bo inaczej nie wiem jak sobie wytłumaczyć skąd się ta 2 wzięła.

A co musiał bym zrobić , żeby tą funkcję rozwinąć na przedziale \(\displaystyle{ (0, 2\pi)}\) ?

aha .. bo edytowałem w międzyczasie, czyli po prostu zwijam:

\(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}( \int_{0}^\pi f(x)\sin (nx)dx + \int_{-pi}^{0} -f(x)\sin (nx)dx )}\)

do

\(\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}( \int_{0}^\pi f(x)\sin (nx)dx )}\)

Dzięki, a czy przy rozwinięciu w szereg sinusów na przedziale\(\displaystyle{ (0, \pi)}\) współczynnik bn powinien wynosić:

\(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}( \int_{0}^\pi f(x)\sin (nx)dx + \int_{-pi}^{0} -f(x)\sin (nx)dx )}\)

?

(oraz an i a0 = 0)

czyli ma być, tak ?;

przy czym z tą potęgą jedynki to był tylko błąd w przepisywaniu.

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx)}\)

Czyli poprawną odpowiedzią przy rozwinięciu w cosinusy powinno być:

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^2}{n^2}\cos(nx)}\)

edit - poprawione pi.

Dlaczego w tym zadaniu jest policzone a0 i an od -pi do pi, nie powinno być od 0 do pi ?
I czy ponieważ ta funkcja jest już funkcją parzystą to czy ona się sama nie rozwija w cosinusy i nie trzeb robić żadnych zabiegów, tylko po prostu wyznaczyć szereg Fouriera ?
I dopiero jeśli miała by ta funkcja ...

sorry miało być: \frac{1}{4} (3\sin x - \sin 3x) (to jest w miarę oczywiste dla mnie skąd się wzięło) i podobno to jest już szereg furiera (to już mniej jasne - czy aby na pewno jakakolwiek funkcja trygonometryczna rozpisana z Eulera dawała szereg Fouriera ?, bo tak to zrozumiałem),

Powiedziano nam ...

Jeszcze mamy robić Fouriera z funkcji typu (\sin x) ^{3} i mamy na nie jakiś mega szybki sposób z przekształcaniem na Eulera, że rozpisujemy sinus ze wzorów na e^{ix} i na zajęciach wyszło, że owe (\sin x) ^{3} wynosi \frac{1}{4} (3 \cdot \sin x - \sin 3x) , wykładowca mówił że na podstawie tego ...

Ok, już wiem: " Iloczyn w postaci sumy " dzięki.