Rozwinąc funkcję w szereg cosinusów [Fourier]

[kacierz]

Witam,
czy mógłbym prosić o sprawdzenie zadania? Bo nie wiem czy dobrze kombinuje.

Funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) rozwinąć w szereg Fouriera cosinusów na przedziale \(\displaystyle{ (- \pi,\pi)}\)

\(\displaystyle{ a_0= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{4\pi^2}{3}}\)

\(\displaystyle{ a_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{8(-1)^n}{n^2}}\)

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{2\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8(-1)^2}{n^2}\cos(nx)}\)

[matzo]

Dlaczego w tym zadaniu jest policzone a0 i an od -pi do pi, nie powinno być od 0 do pi ?
I czy ponieważ ta funkcja jest już funkcją parzystą to czy ona się sama nie rozwija w cosinusy i nie trzeb robić żadnych zabiegów, tylko po prostu wyznaczyć szereg Fouriera ?
I dopiero jeśli miała by ta funkcja być rozwinięta w szereg sinusów, to chyba dopiero wtedy trzeba by zaznaczyć, że na przedziale -pi do 0 wynosi ona -f(x) a od 0 do pi f(x) i dopiero wtedy robić Fouriera ? (Na mój prosty rozum, to by oznaczało, że wtedy funkcja będzie z takimi założeniami nieparzysta i nie ma współczynników a0 i an czyli policzymy tylko bn, a co za tym idzie wyjdzie suma z sinusami w naszym szeregu)

Proszę o potwierdzenie, czy mam rację, bo też chciałbym zrobić to zadanie.

[yorgin]

Przy rozwijaniu w szereg Fouriera na przedziale \(\displaystyle{ (-\pi,pi)}\) współczynniki wyrażają się inaczej.

\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos (nx)dx}\)

kacierz, Twoje współczynniki są więc dwukrotnie za duże. Ponadto

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{2\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8(-1)^2}{n^2}\cos(nx)}\)

tu potęga jedynki powinna być inna.

matzo, funkcja jest parzysta, więc rozwija się w szereg cosinusów.

[matzo]

Czyli poprawną odpowiedzią przy rozwinięciu w cosinusy powinno być:

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^2}{n^2}\cos(nx)}\)

edit - poprawione pi.

[yorgin]

Nie.

Pisałem o potędze jedynki. I skąd \(\displaystyle{ \pi}\) w mianowniku?

[matzo]

czyli ma być, tak ?;

przy czym z tą potęgą jedynki to był tylko błąd w przepisywaniu.

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx)}\)

[yorgin]

Jest teraz poprawnie.

[matzo]

Dzięki, a czy przy rozwinięciu w szereg sinusów na przedziale\(\displaystyle{ (0, \pi)}\) współczynnik bn powinien wynosić:

\(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}( \int_{0}^\pi f(x)\sin (nx)dx + \int_{-pi}^{0} -f(x)\sin (nx)dx )}\)

?

(oraz an i a0 = 0)

[yorgin]

Nie, wtedy ten współczynnik wynosi

\(\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin (nx )dx}\)

Więcej przykładów i wzorów

[matzo]

aha .. bo edytowałem w międzyczasie, czyli po prostu zwijam:

\(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}( \int_{0}^\pi f(x)\sin (nx)dx + \int_{-pi}^{0} -f(x)\sin (nx)dx )}\)

do

\(\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}( \int_{0}^\pi f(x)\sin (nx)dx )}\)

[yorgin]

Skąd masz pewność, że przy takim rozbiciu na sumy obie całki są równe z dokładnością do znaku? Ja nie mam żadnej - to zależy od parzystości funkcji, co częstym zjawiskiem nie jest.

[matzo]

Bo inaczej nie wiem jak sobie wytłumaczyć skąd się ta 2 wzięła.

A co musiał bym zrobić , żeby tą funkcję rozwinąć na przedziale \(\displaystyle{ (0, 2\pi)}\) ?

[yorgin]

Te stałe muszą wynosić odwrotność połowy długości przedziału całkowania.

Teraz chyba jasne, że rozwijanie na \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) przebiega tak samo z dokładnością do stałej.